Zeitdilatation

Stichpunkte

Allgemein
	Hinweis für das Bearbeiten dieser Seite
	Bei der Zeitdilatation handelt es sich um ein Phänomen der speziellen Relativitätstheorie (SRT)
	dass diesselbe Uhr im bewegten Zustand langsamer geht als im unbewegten
	Mit Zeitdilatation bezeichnet man den Effekt
	Allgemeiner gilt dies nicht nur für Uhren
	sondern für jeden physikalischen Prozess
	bewegte Milch wird langsamer sauer als unbewegte Milch und bewegte Menschen altern langsamer als ruhende Menschen
	So zerfallen zum Beispiel bewegte Atome langsamer als ruhende
	je größer die Geschwindigkeit ist
	Die Zeitdilatation ist umso stärker
	mit der die Uhr bewegt wird
	dass sie nicht bemerkt wird
	Sie ist allerdings für alltägliche Geschwindigkeiten so klein
	Erst für sehr große Geschwindigkeiten (ca
	dass sie einen wesentlichen Beitrag liefert. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Berechnung mit Beispielen 2 Zeitdilatation in verschiedenen Bezugssystemen 2.1 Einige Formeln 3 Links 4 Literatur [Bearbeiten]
	1/10 der Lichtgeschwindigkeit) ist sie so groß
Berechnung mit Beispielen
	967 108 99 0
	498 108 50 0
	1411 2
	00448 [Bearbeiten]
	7 10-6 1 - 5
	4359 2
	999 0
	698 108 90 0
	997 107 10 0
	8660 2
	Die Zeitdilatation berechnet sich aus der Formel <math>T_1 = T_0 sqrt {1- left(frac{v^2}{c^2}right)}<math> dabei ist T0 die Zeitdifferenz die eine ruhende Uhr anzeigt und T1 die Zeitdifferenz die eine baugleiche mit der Geschwindigkeit v bewegte Uhr anzeigt. c ist die Lichtgeschwindigkeit. v in m/s v (%c) T1/T0 0 0 1.000 29
	0 10-15 299
	498 107 5 0
	997 108 99
	9987 2
	0447 2
	0 10-13 1
	994 108 99
	9950 1
	9 0
	97 10-7 1 - 5
Zeitdilatation in verschiedenen Bezugssystemen
	Man betrachte zwei gegeneinander gleichförmig bewegte Inertialsysteme (d.h. sie bewegen sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit). Das eine System wird als ruhend betrachtet
	Es wird im folgenden mit S bezeichnet
	Hier befindet sich ein Beobachter
	der die Bewegung des anderen Systems verfolgt
	während sich das für ihn bewegte System mit der Geschwindigkeit v entfernt
	Für den Beobachter ruht sein Inertialsystem
	Das für den Beobachter bewegte System wird im folgenden mit <math>S'<math> bezeichnet
	x') beschrieben
	Ereignisse in dem "zurückgebliebenen System" durch die Koordinaten (t
	x)
	Ereignisse in dem sich entfernenden System werden durch die Koordinaten (t'
	Ein solches Ereignis ist z.B. die Ortskoordinate einer Uhr zu einem bestimmten Zeitpunkt
	Eine in dem bewegten System ruhende Uhr hat zu allen Zeiten <math>t'<math> die gleiche Ortskoordinate <math>x'<math>
	er werde im Folgenden als Reisender bezeichnet
	In S hat sie zu verschiedenen Zeiten t unterschiedliche Koordinaten x
	x bzw. <math>x'<math> die Ortskoordinaten in S bzw. <math>S'<math>. In <math>S'<math> befinde sich ebenfalls ein Beobachter
	da sich <math>S'<math> relativ zu S bewegt. t bzw. <math>t'<math> sind die Zeitkoordinaten in den Systemen S bzw. <math>S'<math>
	Insbesondere bedeutet diese Wahl der Koordinaten
	dass nur eindimensionale Bewegungen betrachtet werden
	Das System <math>S'<math> bewege sich entlang der x-Achse des Systems S in positive Richtung
	Zum Zeitpunkt <math> t = t' = 0 <math> sollen beide Systeme übereinanderliegen
	Zum Zeitpunkt dt hat sich <math>S'<math> für den Beobachter in S um die Strecke v*dt entfernt
	dass beide Systeme zu diesem früheren Zeitpunkt relativ zueinander in Ruhe waren
	hierfür wird insbesondere angenommen
	die zu irgendeinem früheren Zeitpunkt mit einer Zwillingsuhr in S geeicht wurde
	Mit dem Ursprung von <math>S'<math> sei eine Uhr verknüpft
	Das System <math>S'<math> wurde dann relativ zu S auf die Geschwindigkeit v beschleunigt
	Die Zeit in <math>S'<math> bezeichnet man auch als die Eigenzeit von <math>S'<math>
	Für einen Beobachter in S misst also die Uhr in <math>S'<math> die Eigenzeit des Systems <math>S'<math>
	Während der Zeit dt (gemessen in S) bewege sich <math>S'<math> gleichförmig mit der Geschwindigkeit v
	Für den Beobachter in S legt das System <math>S'<math> während der Zeit dt die Entfernung vdt zurück
	Für den Reisenden in <math>S'<math> stellen sich die Verhältnisse anders dar
	Für ihn vergeht die Zeit <math>d tau = sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}cdot dt<math>
	Man bezeichnet dieses Phänomen als Zeitdilatation. c ist das Symbol für die konstante Vakuum-Lichtgeschwindigkeit
	Für v->c konvergiert die Eigenzeit gegen Null
	die der Beobachter in S misst
	für ihn erscheinen Entfernungen
	Der Reisende trifft auch eine andere Aussage über den zurückgelegten Weg
	verkürzt
	als der Beobachter in S vermutet
	dass er weniger Eigenzeit braucht um einen Weg zurückzulegen
	Man bezeichnet dieses Phänomen als Längenkontraktion. Dies erklärt z.B.
	Die mit <math>S'<math> mitbewegte Uhr ist die "innere Uhr" dieses System
	Für v->c konvergieren für den Reisenden alle Entfernungen gegen Null
	wird nur von dem Reisenden in <math>S'<math> wahrgenommen (die dadurch hervorgerufenen Trägheitskräfte wirken ausschließlich in <math>S'<math>)
	die das System <math>S'<math> relativ zu S erfahren hat
	Wichtig ist bei diesen Ãœberlegungen Folgendes: Die Beschleunigung
	spürt aber keine Trägheitskraft
	Der Beobachter in S sieht zwar das System <math>S'<math> beschleunigt
	wenn sie sich relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v bewegen
	In diesem Sinne sind die beiden Systeme nicht gleichwertig
	die <math>S'<math> zurückzulegen hat
	In dem früher beschleunigten System wird eine Längenkontraktion hinsichtlich zurückzulegender Entfernungen beobachtet (für den Beobachter in S ändern sich Entfernung
	nicht)
	für den Reisenden ruht seine Uhr
	er merkt keinen Unterschied
	Dafür scheint die bewegte Uhr in <math>S'<math> für den Beobachter in S langsamer zu gehen
	betrachte man z.B. kosmische Strahlung
	die auf die Erdatmosphäre trifft
	Damit die ganze Beschreibung etwas realistischer wird
	die sich beinahe mit Lichtgeschwindigkeit bewegen
	Unter bestimmten Bedingungen werden dabei so genannte Myonen freigesetzt
	Aus Beschleunigerexperimenten kennt man die Lebenserwartung solcher Elementarteilchen und kann hieraus schließen
	welchen Weg sie in der Atmosphäre zurücklegen können
	Auf keinen Fall würde man sie auf der Erdoberfläche vermuten
	Da man sie aber auf der Erdoberfläche nachweisen kann
	müssen die schnell bewegten Myonen eine höhere Lebenserwartung haben als erwartet
	als wenn sie in Ruhe wären
	Die "innere Uhr" der Myonen scheint langsamer zu gehen
	einen entfernten Planeten ansteuert
	Ein anderes (etwas hypothetisches) Beispiel wäre die Bewegung eines Raumschiffes
	81 frac{m}{s^2} <math> zur Wega (Entfernung 28 Lichtjahre)
	und wieder zurückkommt: Ein Raumschiff startet von der Erde und fliegt mit der konstanten Beschleunigung von <math> 1g = 9
	das von der Erde startet
	Auf halber Strecke ändert das Raumschiff das Vorzeichen der Beschleunigung und verzögert mit 1g
	Nach Abschluss einer 6 monatigen Aufenthaltsdauer kehrt das Raumschiff auf gleiche Weise zur Erde zurück. In verschiedenen Lehrbüchern zur Relativitätstheorie werden Formeln zur Berechnung der vergangenen Zeiten angegeben
	Eine Auswertung dieser Formeln ergab folgendes: Für den Reisenden vergehen 13 Jahre
	der etwa 2.000.000 Lichtjahre entfernt ist (bei gleichen Beschleunigungs- und Verzögerungsphasen): Für die Erde vergehen etwa 4.000.000 Jahre
	während für den Reisenden ungefähr 56 Jahre vergangen sind Die Beschleunigung von 1g wurde gewählt
	z.B. im Anziehungsbereich eines Sterns. [Bearbeiten]
	4 Tage Wesentlich extremere Unterschiede bekommt man bei einem Flug zum Andromedanebel
	ohne dass ein Passagier dies überhaupt bemerken würde
	3 Monate
	da hierdurch irdische Gravitationsverhältnisse an Bord eines Raumschiffes simuliert werden könnten. Im freien Fall könnten unter Umständen wesentlich höhere Beschleunigungswerte erzielt werden
	9 Monate und 11 Tage Auf der Erde ist bei der Rückkehr des Raumschiffes folgende Zeit vergangen: 60 Jahre
Einige Formeln
	Zurückgelegter Weg nach auf Erde vergangener Zeit t bei Anfangsgeschwindigkeit v0 und konstanter Beschleunigung g: <math>x = left( sqrt{1 + frac{(g cdot t + v_0)^2}{c^2}} - sqrt{1 + frac{v_0^2}{c^2}} right) cdot frac {c^2}{g}<math> Momentane Geschwindigkeit: <math>frac{g cdot t + v_0}{sqrt{1 + frac{ left(g cdot t + v_0 right)^2}{c^2}}}<math> Zeit auf der Erde (Umkehrung der Formel für zurückgelegten Weg x): <math>frac{1}{g} cdot left(-v_0 + frac{1}{c} cdot sqrt{v_0^2 cdot c^2 + x^2 cdot g^2 + 2 cdot x cdot g cdot c cdot sqrt{c^2 + v_0^2}} right)<math> Zeit auf dem Raumschiff (in Abhängigkeit von der auf der Erde vergangenen Zeit t): <math>frac{c}{g} cdot ln left[ left(sqrt{c^2 + v_0^2} - v_0 right) cdot frac{sqrt{c^2 + (g cdot t + v_0)^2} + g cdot t + v_0}{c^2} right]<math> [Bearbeiten]
Links
	in dem Erde und Pluto unbewegt sind. (http://www.virtualuniversity.ch/mathematik/42.html) [Bearbeiten]
	BeispielApplet
	dass die Uhr im Raumschiff langsamer geht als die beiden Uhren des Systems
	das demonstriert
Literatur
	1990 Walter Greiner
	Thomas Cremer: Interpretationsprobleme der speziellen Relativitätstheorie
	1989 en:Time dilation sv:Tidsdilatation nl:Tijdsdilatatie
	Verlag Harri Deutsch
	Verlag Harri Deutsch
	Johann Rafelski: Spezielle Relativitätstheorie

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