Folge (Mathematik)

Glossar
· Hauptseite · Zufälliger Artikel · Portal liste
Diskussion
· Diskussion : Folge (Mathematik)
Webkatalog
· Übersicht · Eigene Artikel · Seite vorschlagen
Aktuelles
· Seite der Woche · Newsletter · Today in History · Kreuzworträtsel
Weitere Inhalte
· Einkaufsmeile · Begriffslexikon · Multimedia
Suche
· Geschi.de · nach Jahren · Weltchronik.de · Geschichtsreferate
Interna
· Seitenneuigkeiten · Hilfe zur Seite · Impressum

Jahres-Sprung
Jahreszahl eingeben: >Chronik2000-Homepage<

Folge (Mathematik)

Stichpunkte

Allgemein
	Eine in ihrer Anordnung festgelegte Auflistung von endlich oder unendlich vielen Zahlen heiÃŸt in der Mathematik Zahlenfolge oder kurz Folge
	heiÃŸen die Glieder der Folge
	aus denen die Folge zusammengesetzt ist
	Die einzelnen Zahlen
	In den meisten Anwendungen sind die Folgenglieder ganze
	rationale oder reelle Zahlen
	so dass die Folgenglieder Elemente eines beliebigen metrischen Raums sein dÃ¼rfen
	In der Funktionalanalysis wird der Begriff Folge erweitert
	Folgen
	werden in einem eigenen Artikel Mengenfolge behandelt. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	sondern Mengen sind
	deren Glieder nicht Zahlen
	"Verbergen") 1 Anwendungen 2 Formale Definition 3 Bildungsgesetz einer Folge 3.1 Angabe von Anfangsgliedern 3.2 Angabe einer Funktionsvorschrift 3.2.1 Daran anknÃ¼pfende Aufgaben (fÃ¼r SchÃ¼ler) 3.3 Angabe als Reihe 3.4 Angabe einer Rekursion 3.5 Angabe Ã¼ber einen Algorithmus 4 Charakterisierung von Folgen 4.1 Daran anknÃ¼pfende Aufgaben (insbesondere fÃ¼r SchÃ¼ler und StudienanfÃ¤nger) 4.1.1 Nachweis der Monotonie 4.1.2 Nachweis der BeschrÃ¤nktheit / Bestimmung einer Schranke 5 Wichtige Folgen 5.1 Arithmetische Folgen und Reihen 5.2 Folgen auf Basis der Potenzfunktion 5.3 Geometrische Folgen 6 Verallgemeinerungen 7 Noch nicht eingebaut 8 Weblinks [Bearbeiten]
Anwendungen
	kÃ¶nnen mathematisch als Folgen aufgefasst werden
	Zeitreihen
	wie sie zum Beispiel durch die Aufzeichnung von Temperaturbeobachtungen oder Wirtschaftsdaten entstehen
	In der Informatik kann man Felder (Arrays) als endliche Folgen auffassen
	Unendliche Folgen kÃ¶nnen gegen einen Grenzwert konvergieren
	die Definition der Ableitung (Differentialquotient als Grenzwert einer Folge von Differenzenquotienten) und der Riemannsche Integralbegriff
	Die Theorie der Grenzwerte unendlicher Folgen ist eine wichtige Grundlage der Analysis: auf ihr beruhen die Berechnung von Grenzwerten von Funktionen
	Wichtige Folgen erhÃ¤lt man als Koeffizienten von Taylorreihen stetiger Funktionen; manche elementare Funktionen wie tan x fÃ¼hren dabei auf recht exotische Folgen wie zum Beispiel die Bernoullischen oder Eulerschen Zahlen
	Eine Reihe ist eine Folge
	deren Glieder als Summen von Gliedern einer anderen Folge aufgefasst werden
	Reihen werden insbesondere zur sukzessiven Approximation irrationaler Zahlenwerte verwandt; siehe dazu den Artikel Reihe (Mathematik). [Bearbeiten]
Formale Definition
	eindeutig bezeichnet werden
	Weil die Glieder einer Folge in ihrer Reihenfolge festgelegt sind
	den Index
	kann jedes Glied durch eine Art "Hausnummer"
	Die Indizes entnimmt man fast immer der Menge der natÃ¼rlichen Zahlen N; je nach Anwendungsfall schlieÃŸt man dabei die Null ein (bei Bedarf explizit als Menge N0 notiert) oder nicht (Menge N+)
	end{matrix}<math> die jedem Index i aus der Indexmenge N ein Folgenglied ai aus der Zielmenge X zuordnet
	kehrt man in der formalen Definition die Logik der Begriffsentstehung um und erklÃ¤rt eine unendliche Folge als eine Funktion <math>begin{matrix}a:&mathbf{N} &to& X\ & i&mapsto&a_i
	Wie so oft
	In der Regel ist X ein metrischer Raum; in der Schulmathematik und in den wichtigsten AnwendungsfÃ¤llen ist X ganz konkret die Menge der reellen Zahlen R
	...
	1
	n}. Randbemerkung: Diese WahlmÃ¶glichkeit spiegelt sich auch in der Computertechnik wieder: in Ã¤lteren (Fortran) oder didaktischen (Pascal) Programmiersprachen werden n-dimensionale Felder mit Indizes zwischen 1 und n adressiert; in den meisten Sprachen werden jedoch Indizes von 0 bis n-1 verwendet. Zur Notation: Es ist gebrÃ¤uchlich
	0
	0
	eine Folge mit runden oder spitzen Klammern als (ai) oder <ai> zu notieren; davon zu unterscheiden ist die Bildmenge der Folge {ai \| i aus N}. Beispiel: Die Folge 0
	4
	... hat die Bildmenge { 0
	n-1} oder aus der Menge {1
	...
	4
	FÃ¼r eine endliche Folge mit n Gliedern entnimmt man den Index statt aus N aus einer endlichen Menge
	2
	1
	und zwar Ã¼blicherweise entweder aus der Menge {0
	... }. [Bearbeiten]
	2
Bildungsgesetz einer Folge
	indem man sÃ¤mtliche Folgenglieder nennt
	Eine endliche Folge kann man angeben
	Bei einer unendlichen Folge geht das offensichtlich nicht; stattdessen muss man das Bildungsgesetz der Folge in anderer Form mitteilen
	deren Bildungsgesetz sich als Funktionsvorschrift oder Rekursion mitteilen lassen
	werden zuweilen regelmÃ¤ÃŸige Folgen genannt
	Folgen
	da letzten Endes jede Folge
	die Ã¼berhaupt wohldefiniert ist
	eine Funktionsvorschrift besitzt; bei unregelmÃ¤ÃŸigen Folgen lÃ¤sst sich lediglich sagen
	die mit der Ã¼blichen Notation nicht in funktionaler Form dargestellt werden kÃ¶nnen. [Diese Thematik hÃ¤ngt mit der schwierigen Frage der Berechenbarkeit zusammen]. [Bearbeiten]
	Dies ist jedoch keine mathematisch strenge Klassifikation
	dass die Angabe einer Funktionsvorschrift nach derzeitigem mathematischen Wissen aufwendig ist oder/und Ã¼ber algorithmische Vorschriften erfolgt
Angabe von Anfangsgliedern
	deren erste Glieder gegeben sind
	eine Folge fortzusetzen
	ist aus mathematischer Sicht problematisch: durch noch so viele Anfangsglieder ist der weitere Verlauf einer Folge nicht eindeutig festgelegt
	Die in manchen Intelligenztests gestellte Aufgabe
	Es gibt nur mehr oder weniger plausible Fortsetzungen
	2
	1
	Beispiele: Gegeben ist 0
	3
	...
	5
	also die Folge aller natÃ¼rlichen Zahlen
	Am plausibelsten ist die Fortsetzung 4
	6
	0
	1
	2
	also als die periodische Folge der natÃ¼rlichen Zahlen modulo 4
	....
	3
	MÃ¶glich ist aber auch die Fortsetzung 0
	-2147483646
	3
	In einem Computer werden ganze Zahlen oft mit 32 Bit
	2147483647
	2
	-1 und periodisch weiter
	1
	also modulo 231 dargestellt; beim sukzessiven ErhÃ¶hen eines Registers durchlÃ¤uft man dann die Zahlenfolge 0
	-2147483645
	...
	...
	5 als plausibelste Fortsetzung 1
	1
	7
	1
	6
	..
	Ein mathematisch unvorgebildeter Proband nennt fÃ¼r die Zahlenfolge 3
	1
	4
	2
	... vorschlagen. Die Online-EnzyklopÃ¤die der Zahlenfolgen (http://www.research.att.com/~njas/sequences/indexgerman.html) (OEIS) enthÃ¤lt tausende mathematisch relevanter Folgen; darin kann man nach einer gegebenen Teilfolge suchen
	6
	Andere wÃ¼rden die Dezimaldarstellung der Kreiszahl π wiedererkennen und die Fortsetzung 9
	Zur Notation: Wenn eine Folge nichtganze Zahlen enthÃ¤lt und Folgenglieder als Dezimalzahlen angegeben werden sollen
	also z.B
	trennt man die Folgenglieder zweckmÃ¤ÃŸigerweise durch ein Semikolon anstelle des sonst meist verwendeten Kommas
	25; 0
	5; 0
	1; 0
	125; ... [Bearbeiten]
Angabe einer Funktionsvorschrift
	FÃ¼r viele
	aber keineswegs alle Folgen kann man die Funktionsvorschrift <math>imapsto a_i<math> als eine geschlossene Gleichung angeben
	3
	2
	1
	In den folgenden Beispielen legen wir Indizes aus der Menge N0 zugrunde: Die Folge der natÃ¼rlichen Zahlen 0
	..
	8
	2
	Dieses Beispiel ist speziell
	weil die Werte von Folgenglied und Index Ã¼bereinstimmen; die Funktionsvorschrift lautet einfach <math>a_i = i.<math> Die Folge der ungeraden Zahlen 1
	4
	5
	... <math>a_i = 2^i.<math> [Bearbeiten]
	.... hat die Funktionsvorschrift <math>a_i = 2i+1.<math> Die Folge der Zweierpotenzen 1
	3
	7
Daran anknÃ¼pfende Aufgaben (fÃ¼r SchÃ¼ler)
	und berechnet auf diese Weise die Folgenglieder a0
	a1
	zu einer gegebenen Funktionsvorschrift die Anfangsglieder zu bestimmen
	setzt sie jeweils in die Funktionsvorschrift ein
	i=2 usw.
	ist leicht: man nimmt nacheinander die Werte i=0
	Die Aufgabe
	a2 usw
	i=1
	Zweck dieser Rechnung ist es
	sich ein erstes Bild vom Verlauf einer Folge zu machen
	Aber Achtung: eine Folge kann fÃ¼r wirklich groÃŸe Indizes einen ganz anderen Verlauf nehmen als nach den ersten zehn oder hundert Gliedern zu erwarten
	wie man durch Einsetzen hÃ¶herer Zehnerpotenzen Ã¼berprÃ¼fen kann
	die bis i=1000 monoton zunimmt
	Beispiel: die Folge ai = 1 / (1 + (i-1000)2)
	dann aber wieder abnimmt
	ist dagegen deutlich schwieriger
	Die Umkehraufgabe
	zu gegebenen Anfangsgliedern eine Funktionsvorschrift zu bestimmen
	Streng genommen kann es gar keine eindeutige LÃ¶sung geben
	denn jeder Folgenanfang lÃ¤sst sich ja in verschiedener Weise fortsetzen (siehe dazu oben)
	a1
	... abhÃ¤ngen
	2
	1
	deren Glieder a0
	In der Praxis wird diese Aufgabe daher nur fÃ¼r Folgen gestellt
	a2 usw. in einigermaÃŸen Ã¼berschaubarer Weise vom Index i=0
	bekommt man das richtige Vorzeichen durch einen Faktor (-1)i in der Funktionsvorschrift
	Im einzelnen prÃ¼fe man: Ist die Folge alternierend? Wenn ja
	2
	-1
	Beispiel: 0
	... hat die Vorschrift ai=(-1)i i
	4
	-3
	Sind die Folgeglieder BrÃ¼che? Wenn ja
	konstruiere man unabhÃ¤ngig voneinander Funktionsvorschriften fÃ¼r ZÃ¤hler und Nenner
	3/4
	2/2
	Beispiel: 1/1
	... hat die Vorschrift ai=(i+1)/2i
	4/8
	mit d<0)? Wenn ja
	hat man eine arithmetische Folge ai=a0+di
	Nehmen die Folgenglieder um konstante Differenzen d zu (oder ab
	3
	7
	... hat die Vorschrift ai=1+2i
	Beispiel: 1
	5
	GenÃ¼gen die Differenzen zwischen aufeinander folgenden Glieder einem einfacheren Bildungsgesetz als die Folgeglieder selbst? Wenn ja
	kann man die Folge als eine Reihe auffassen (siehe dazu unten)
	15
	10
	2
	4
	..
	3
	6
	Beispiel: FÃ¼r 1
	3
	... lauten die Differenzen 1
	Stehen aufeinander folgende Folgenglieder in einem konstanten VerhÃ¤ltnis 1:q zueinander? Wenn ja
	hat man eine geometrische Folge ai=a0 qi
	8)i. Erschwert wird die Suche nach einer Funktionsvorschrift dadurch
	8 ab; also lautet die Vorschrift ai=100·(0
	dass die ersten ein oder zwei Folgenglieder (zu den Indizes 0 und 1) oft aus dem Rahmen zu fallen scheinen
	2; ... nimmt von Glied zu Glied um einen Faktor 0
	Beispiel: Die Folge 100; 80; 64; 51
	dass ein Summand 0
	ein Faktor 1 oder Exponent 0 oder 1 in aller Regel nicht ausgeschrieben
	Das liegt daran
	sondern sofort ausgerechnet werden
	... die Funktionsvorschrift beim besten Willen nicht mehr anzusehen. [Bearbeiten]
	... ist dem oben genannten Beispiel 1/1
	1
	4/8
	3/4
	3/4
	1/2
	2/2
	In der gekÃ¼rzten Form 1
Angabe als Reihe
	immer und Ã¼berall gleich sind: der mit Hilfe des Summenzeichens geschriebene Ausdruck <math>sum_{i=0}^n a_i<math> ist nichts anderes als eine AbkÃ¼rzung fÃ¼r den Ausdruck <math>a_0+a_1+ldots+a_n<math>
	heiÃŸt eine Reihe: <math>s_n=a_0+a_1+ldots+a_nequivsum_{i=0}^n a_i.<math> ErlÃ¤uterungen zur Notation: Das Ã„quivalenzzeichen &equiv; ist eine Art verstÃ¤rktes Gleichheitszeichen; es soll andeuten
	sondern prinzipiell
	dass die beiden AusdrÃ¼cke <math>a_0+a_1+ldots+a_n<math> und <math>sum_{i=0}^n a_i<math> nicht nur in diesem speziellen Kontext
	Eine Folge <sn>
	deren n-tes Glied als Summe der ersten n Glieder einer anderen Folge <ai> geschrieben werden kann
	Innerhalb und auÃŸerhalb des Summenzeichens sind unterschiedliche Indizes zu verwenden
	Dass wir speziell n und i gewÃ¤hlt haben
	entspricht einer weit verbreiteten Konvention
	ist aber nicht zwingend
	muss ein konkreter Zahlenwert fÃ¼r den Index n vorgegeben werden
	Um <math>s_n=sum_{i=0}^n a_i<math> als konkreten Zahlenwert zu berechnen
	..
	1
	indem man aus den Differenzen aufeinander folgender Glieder eine Folge <math>a_i = begin{cases}0 &mbox{wenn } i=0
	fÃ¼r den "Laufindex" i muss man nacheinander die Werte 0
	a1
	n einsetzen und die Summe der zugehÃ¶rigen a0
	\ s_i-s_{i-1} &mbox{sonst}end{cases}<math> konstruiert
	...
	sondern durch die Summationsvorschrift selbst festgelegt: welches n auch immer gegeben ist
	Im Gegensatz dazu ist der Index i kein von auÃŸen vorzugebender Input
	an berechnen. Man kann jede Folge <sn> als eine Reihe auffassen
	Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar
	sondern deren zeitliche VerÃ¤nderungen
	Die Zeitreihen der Wirtschaftswissenschaftler sind eigentlich Folgen; viele ErklÃ¤rungsmodelle modellieren aber nicht absolute Werte
	was fÃ¼r die Auffassung der absoluten Werte als Glieder einer Reihe spricht
	wenn man die Summation fÃ¼r beliebige n ausfÃ¼hren kann
	Konkreten Nutzen bringt die Deutung einer Folge als Reihe
	die geometrische Reihe. Siehe dazu den Artikel Summe
	Summationsformeln sind zum Beispiel bekannt fÃ¼r die arithmetische Reihe
	ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert die Folge konvergiert: fÃ¼r unendliche Reihen gibt es eigene Konvergenzkriterien
	Die Deutung einer unendlichen Folge als Reihe erleichtert es zu bestimmen
	dass die zugrundeliegende Folge gegen Null konvergiert. [Bearbeiten]
	Umgekehrt kann man aus der Konvergenz einer Reihe immer darauf schlieÃŸen
Angabe einer Rekursion
	Das Bildungsgesetz einer Folge kann auch rekursiv angegeben werden
	Dazu nennt man m Anfangswerte (mit m≥1; meistens ist m=1 oder m=2) sowie eine Vorschrift
	wie ein Folgenglied ai aus den vorhergehenden m Gliedern ai-m
	...
	ai-1 berechnet werden kann
	1
	die sich wesentlich einfacher durch eine Rekursionsvorschrift als durch eine Funktionsvorschrift beschreiben lÃ¤sst
	8
	3
	..
	5
	Das bekannteste Beispiel fÃ¼r eine Folge
	1
	2
	ist die Fibonacci-Folge 0
	FÃ¼r sie ist m=2: gegeben sind die zwei Anfangsglieder a0=0 und a1=1 sowie die Rekursionsvorschrift <math>a_i = a_{i-2} + a_{i-1}.<math> Die Funktionsvorschrift <math>a_i = {1 over sqrt{5}} left(left({1+sqrt{5} over 2}right)^i - left({1-sqrt{5} over 2}right)^iright) <math> steht in engem Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt
	dass die ai alle ganzzahlig sind
	Beachte
	da sich die ungeraden Potenzen der √5 herauskÃ¼rzen
	FÃ¼r manche Folgen kann man umgekehrt aus der Funktionsvorschrift eine Rekursionsvorschrift ableiten
	a_{i+1} = frac{a_i}2 + frac1{a_i}<math> definiert die Folge rationaler Zahlen 2
	Zum Beispiel folgt fÃ¼r die geometrische Folge aus der Funktionsvorschrift <math>a_i = a_0 q^i<math> die Rekursionsvorschrift <math>a_i = q a_{i-1}.<math> Die Rekursion <math>a_1 = 2
	17/12
	die gegen âˆš2 konvergiert. [Bearbeiten]
	3/2
	...
Angabe Ã¼ber einen Algorithmus
	FÃ¼r manche Folgen gibt es eine klar definierte Konstruktionsvorschrift
	aber keine Funktionsvorschrift
	11
	Das bekannteste Beispiel ist die Folge der Primzahlen 2
	5
	3
	7
	..
	wie man immer weitere Glieder dieser Folge berechnet
	Es ist seit den alten Griechen (oder Indern ?) bekannt
	zu einem gegebenen i die i-te Primzahl anzugeben
	ohne zuvor die gesamte Folge von der ersten bis zur (i-1)-sten Primzahl zu berechnen (oder nachzuschlagen)
	Es gibt jedoch keine Methode
	macht das den Unterschied zwischen berechenbar und nicht berechenbar aus und hat weitreichende Implikationen fÃ¼r die Sicherheit von VerschlÃ¼sselungs- und Authentifizierungsalgorithmen
	die auf Primzahlen beruhen. [Bearbeiten]
	Wenn man nicht die zehnte oder die hundertste
	sondern die 1020ste Primzahl wissen mÃ¶chte
Charakterisierung von Folgen
	wenn sie von Glied zu Glied gleichbleibt oder zunimmt
	wenn also fÃ¼r alle i aus N gilt: ai ≤ ai+1
	Wie Funktionen kann man auch Folgen Ã¼ber ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich charakterisieren: Eine Folge heiÃŸt monoton steigend
	Eine Folge heiÃŸt streng monoton steigend
	wenn also fÃ¼r alle i aus N gilt: ai < ai+1
	wenn sie von Glied zu Glied zunimmt
	Die Begriffe monoton fallend und streng monoton fallend sind analog definiert
	wenn sie eine obere Schranke S besitzt
	Eine Folge heiÃŸt nach oben beschrÃ¤nkt
	so dass fÃ¼r alle i aus N gilt: ai < S
	Die kleinste obere Schranke einer Folge heiÃŸt auch ihr Supremum
	Die Begriffe nach unten beschrÃ¤nkt
	untere Schranke und Infimum sind analog definiert
	Eine Folge
	heiÃŸt alternierend
	deren Werte abwechselnd positiv und negativ sind
	kÃ¶nnte man eine triviale oder konstante Folge nennen
	Eine Folge
	deren Glieder alle Ã¼bereinstimmen
	und fÃ¼r alle i aus N gilt: ai = ai+n. In der Analysis gilt das Hauptinteresse der Frage
	Eine unendliche Folge
	ob eine Folge einen Grenzwert hat
	die aus Wiederholungen einer endlichen Teilfolge besteht
	heiÃŸt periodisch; es gibt eine PeriodenlÃ¤nge n
	Siehe dazu den Artikel Grenzwert
	die gegen keinen Grenzwert konvergiert
	... besitzt die HÃ¤ufungspunkte -1 und 1)
	3/4
	-5/6
	Eine unendliche Folge
	kann nichtsdestoweniger HÃ¤ufungspunkte besitzen (Beispiel: die Folge -1/2
	7/8
	Die vorgenannte Charakterisierung einer Folge Ã¼ber ihr Steigungsverhalten und ihren Bildbereich kann helfen
	zu bestimmen
	ob und wenn ja gegen welchen Grenzwert sie konvergiert
	Besonders nÃ¼tzlich ist folgender Satz: Eine monoton steigende
	nach oben beschrÃ¤nkte Folge konvergiert
	und ihr Grenzwert stimmt mit ihrem Supremum Ã¼berein
	2/3
	3/4
	1/2
	Beispiel: die Folge 0
	... konvergiert gegen ihr Supremum 1
	nach unten beschrÃ¤nkte Folge konvergiert gegen ihr Infimum. [Bearbeiten]
	Eine monoton fallende
Daran anknÃ¼pfende Aufgaben (insbesondere fÃ¼r SchÃ¼ler und StudienanfÃ¤nger)
	eventuell auch Ã¼ber eine Rekursion gegeben. [Bearbeiten]
	sind die Folgen in der Regel Ã¼ber eine Funktionsvorschrift
	Wenn Aufgaben zur Monotonie oder/und BeschrÃ¤nktheit von Folgen gestellt werden
Nachweis der Monotonie
	dass eine Folge nicht monoton (bzw. streng monoton) ist
	berechnet die zugehÃ¶rigen Folgenglieder und hofft
	Wenn man vermutet
	ein Gegenbeispiel zu finden
	setzt man ein paar Indizes in die Funktionsvorschrift ein
	Beispiel: Die durch ai=2i/(3i+1) gegebene Folge ist nicht monoton
	denn a0=1 > a2=4/13 < a5=32/16
	schreibt man ai< ai+1
	indem man sie durch Ã„quivalenzumformungen vereinfacht
	Wenn man vermutet
	dass eine Folge streng monoton steigt
	wertet auf beiden Seiten die Funktionsvorschrift aus (indem man auf der rechten Seite i+1 anstelle von i in die Vorschrift einsetzt)
	und Ã¼berprÃ¼ft die so entstandene Ungleichung
	Beispiel: [Siehe LehrbÃ¼cher] Manche Funktionsvorschriften lassen sich durch Termumformungen in eine Summe aus konstanten Termen und einer bekannten
	einfacheren Folge zerlegen
	deren Steigungsverhalten schon bekannt ist
	dass 1/(i+1) streng monoton fÃ¤llt
	Beispiel: <math>a_i = frac{2i+1} {i+1} = frac {2(i+1)-1}{i+1} = 2 - frac {1}{i+1}<math> Wenn man weiÃŸ
	kann man schlieÃŸen
	dass -1/(i+1) streng monoton steigt
	steigt auch ai streng monoton. [Bearbeiten]
	Weil der Term 2 konstant ist
Nachweis der BeschrÃ¤nktheit / Bestimmung einer Schranke
	dass es nicht irgendeine riesig groÃŸe bzw. kleine Zahl gibt
	durch die die Folge beschrÃ¤nkt ist
	denn mit noch so vielen Beispielen kann man nicht sicherstellen
	Ein Nachweis per Gegenbeispiel ist hier nicht mÃ¶glich
	fÃ¼r eine obere Schranke also ai ≤S; auf der linken Seite die Funktionsvorschrift anwenden; nach i auflÃ¶sen; dann erhÃ¤lt man mit etwas GlÃ¼ck ein Ergebnis in der Form i ≤f(S) oder i≥f(S)
	es gÃ¤be eine Schranke; die passende Ungleichung ansetzen
	wobei f(S) fÃ¼r irgendeinen von S abhÃ¤ngigen Term steht
	Man muss also annehmen
	wie groÃŸ f(S) ist
	ein noch grÃ¶ÃŸeres i zu nennen
	das die Ungleichung verletzt
	es ist immer mÃ¶glich
	dass die Folge nicht nach oben beschrÃ¤nkt ist: denn egal
	Im ersten Fall hat man herausgefunden
	fÃ¼r das f(S) ≤0
	Im zweiten Fall versucht man ein S zu finden
	dass S eine obere Schranke ist
	FÃ¼r ein solches S ist i≥f(S) immer erfÃ¼llt; somit ist der Nachweis gelungen
	Auch diese Aufgabe kann sich vereinfachen
	die Funktionsvorschrift in eine Summe aus einfacheren Termen zu zerlegen. [Bearbeiten]
	wenn es gelingt
Wichtige Folgen
	[Bearbeiten]
Arithmetische Folgen und Reihen
	Eine arithmetische Folge ist eine Folge mit konstanter Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern
	15
	3
	3
	9
	... zugrunde liegt
	6
	... kann man als Reihe auffassen
	... lautet die Funktionsvorschrift <math>a_i = 5 + 2i
	<math>a_i = 2i+1.<math> Die Folge der "Dreieckszahlen" 1
	10
	FÃ¼r die Folge 5
	der die arithmetische Folge 1
	7
	<math> im allgemeinen Fall (mit konstanter Differenz d) <math>a_i = a_0 + i d.<math> Innerhalb der Mathematik oder Informatik benÃ¶tigt man besonders hÃ¤ufig die Folge der geraden <math>a_i = 2i<math> oder der ungeraden Zahlen
	2
	Mit Hilfe einer bekannten Summationsformel findet man <math>a_i = frac{i(i+1)}{2}.<math> [Bearbeiten]
Folgen auf Basis der Potenzfunktion
	1
	Die Folge der Quadratzahlen 0
	... hat die Funktionsvorschrift <math>a_i = i^2
	4
	<math> die der Kubikzahlen 0
	8
	27
	wobei s eine beliebige reelle Zahl sein darf
	... <math>a_i = i^3
	9
	1
	<math> was man fÃ¼r s-te Potenzen der natÃ¼rlichen Zahlen zu <math>a_i = i^s<math> verallgemeinern kann
	<math>a_i = i^{0
	5} = sqrt{i}.<math> Bei negativen Exponenten s<0 ist zu beachten
	1
	√3
	√2
	Mit s=1/2 erhÃ¤lt man die Folge 0
	... der Quadratwurzeln der natÃ¼rlichen Zahlen
	dass 0s nicht exisitiert
	4
	√5
	Beispielsweise mit s=-1 und der Funktionsvorschrift <math>a_i = i^{-1} = frac{1}{i}<math> ist es nicht mÃ¶glich
	dass Folgenglied zum Index i=0 zu berechnen
	indem man sich die Indexmenge N+ beschrÃ¤nkt
	Man kann den Index 0 ausschlieÃŸen
	die Indexmenge N0 unverÃ¤ndert zu lassen und stattdessen die Funktionsvorschrift in <math>a_i = (i+1)^{-1} = frac{1}{i+1}<math> zu Ã¤ndern
	Oft ist es jedoch zweckmÃ¤ÃŸiger
	Dann lauten die ersten Folgenglieder 1
	1/3
	..
	1/4
	1/2
	In gleicher Weise kann man eine Funktionsvorschrift fÃ¼r beliebige Exponenten s aufstellen: <math>a_i = (i+1)^{s}<math>. [Bearbeiten]
Geometrische Folgen
	so stehen in einer geometrische Folge <math>a_i = a_0 q^i<math> aufeinanderfolgende Glieder in einem konstanten VerhÃ¤ltnis zueinander
	ai+1 / ai = q
	So wie in einer arithmetischen Folge aufeinanderfolgende Glieder eine konstante Differenz haben
	64
	2
	512
	256
	<math> von der jeder mit Digitaltechnik Befasste mindestens die ersten zehn Glieder 1
	1024 auswendig weiÃŸ; in dieser Folge ist jedes Glied genau doppelt so groÃŸ wie das vorangegangene
	4
	32
	128
	Zum Beispiel ergibt q=2 die der Folge der Zweierpotenzen <math>a_i = 2^i
	16
	8
	1
	...; wenn q=-1
	1; 0
	1
	wie beispielsweise die Folge 1; 0
	Eine geometrische Folge mit \|q\|<1 konvergiert gegen Null
	erhÃ¤lt man aus <math>a_i = (-1)^i<math> die fundamentale alternierende Folge 1
	01; ... zu q=0
	-1
	-1
	1: <math>a_i = left(frac{1}{10}right)^i<math> Wenn q=1 erhÃ¤lt man die triviale Folge 1
	1
	... [Bearbeiten]
Verallgemeinerungen
	In der Topologie ist ein Netz eine Verallgemeinerung einer Folge. [Bearbeiten]
Noch nicht eingebaut
	Zum Beweis der Konvergenz ist die Methode der VollstÃ¤ndigen Induktion ein nÃ¼tzliches Hilfsmittel. [Bearbeiten]
Weblinks
	Die Online-EnzyklopÃ¤die der Zahlenfolgen (http://www.research.att.com/~njas/sequences/indexgerman.html) (OEIS) enthÃ¤lt eine Sammlung gebrÃ¤uchlicher Folgen aus ganzen Zahlen mit einer Suchfunktion. en:Sequence es:SucesiÃ³n matemÃ¡tica fr:Suite gl:SucesiÃ³n matemÃ¡tica id:Barisan ja:æ•°åˆ— nl:Rij (wiskunde) pl:CiÄ…g (matematyka) pt:SeqÃ¼Ãªncia sl:Zaporedje

[X] Schliessen

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Folge (Mathematik) aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.

Opiat Fourier-Reihe TeX Bundesfinanzministerium Bundeszollverwaltung Zollamt Zollkommissariat

[Zurück ]

Inhalt Glossar:

Diese Seite einem Freund, Kollegen oder Bekannten weiterempfehlen? Hier klicken!

Allgemein

Anwendungen

Formale Definition

Bildungsgesetz einer Folge

Angabe von Anfangsgliedern

Angabe einer Funktionsvorschrift

Daran anknÃ¼pfende Aufgaben (fÃ¼r SchÃ¼ler)

Angabe als Reihe

Angabe einer Rekursion

Angabe Ã¼ber einen Algorithmus

Charakterisierung von Folgen

Daran anknÃ¼pfende Aufgaben (insbesondere fÃ¼r SchÃ¼ler und StudienanfÃ¤nger)

Nachweis der Monotonie

Nachweis der BeschrÃ¤nktheit / Bestimmung einer Schranke

Wichtige Folgen

Arithmetische Folgen und Reihen

Folgen auf Basis der Potenzfunktion

Geometrische Folgen

Verallgemeinerungen

Noch nicht eingebaut

Weblinks