Zahlenbereich

Stichpunkte

Allgemein
	d. h. die Anzahl von Elementen zu bestimmen
	Ein Zahlenbereich ist eine genau definierte Menge von Zahlen. Natürliche Zahlen (Symbol: <math>mathbb{N}<math>) Natürliche Zahlen sind aus dem Grundbedürfnis der Menschen erwachsen
	Dinge zu zählen
	Unter ihnen versteht man die Menge aller positiven ganzen Zahlen
	manche Lehrbücher notieren diesen Zahlbereich dann als N0
	Zuweilen wird ihnen auch noch die neutrale Zahl 0 zugerechnet
	Addition und Multiplikation sind uneingeschränkt möglich
	6 ... Ganze Zahlen (Symbol: <math>mathbb{Z}<math>) Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen um negative ganze Zahlen
	5
	4
	2
	3
	Beispiele: 1
	Mit ihnen ist es möglich
	uneingeschränkt zu subtrahieren
	3 ... Rationale Zahlen (Symbol: <math>mathbb{Q}<math>) Die rationalen Zahlen umfassen die Menge aller Bruchzahlen
	2
	-1
	1
	-2
	Beispiele: ... -3
	0
	dass der Divisor (=Nenner) nicht 0 sein darf
	Eine Bruchzahl ist der Quotient zweier ganzer Zahlen
	wobei die Einschränkung gilt
	Mit der Erweiterung auf die rationalen Zahlen sind alle vier Grundrechenarten inklusive der Division ausführbar
	nicht periodische und demzufolge nicht als Bruch darstellbare Zahlen
	1
	<math>{7 over 13}<math>
	Beispiele: <math>{1 over 3}<math>
	8 Reelle Zahlen (Symbol: <math>mathbb{R}<math>) Die reellen Zahlen bilden eine Synthese aus den rationalen Zahlen und den so genannten irrationalen Zahlen - unendliche
	Das Ziehen der Wurzel bei positivem Radikant kann nun eindeutig durchgeführt werden
	e Komplexe Zahlen (Symbol: <math>mathbb{C}<math>) Trotz der Erweiterung auf die reellen Zahlen ist es noch nicht möglich
	sqrt[3]{17}<math>
	π
	Beispiele: <math>sqrt[]{2}
	alle Gleichungen zu lösen
	da das Quadrat reeller Zahlen stets positiv ist
	So lässt sich die Gleichung x2 = -1 nach wie vor nicht lösen
	Um diesem Problem entgegenzuwirken
	war eine neuerliche Erweiterung des Zahlenbereichs auf die komplexen Zahlen notwendig
	Deren Grundlage ist die Einführung einer imaginären Zahl i
	deren Quadrat -1 ergibt (i2 = -1)
	Komplexe Zahlen bestehen aus einem reellen und einem imaginären Teil
	die durch die Elemente des Quaternionenrings dargestellt werden
	Beispiele: 15 + 3i
	Hyperkomplexe oder Hamilton-Zahlen (Symbol: <math>mathbb{H}<math>) Diese Zahlen
	4 - 5i Quaternionen
	sind die Erweiterung der komplexen Zahlen
	Sie bilden in ihrer algebraischen Struktur nur einen Schiefkörper
	da sie nicht kommutativ sind
	Ihre Darstellung erfolgt in Form von drei Imaginärteilen
	Beispiele: 5 + 3i + 9j + 4k
	-8 + 6i - 3j + 9k Oktaven oder Cayley-Zahlen (Symbol: <math>mathbb{O}<math>) Die Oktaven stellen eine achtdimensionale Erweiterung der reellen Zahlen (ein zweidimensionales Element des Quaternionenrings) dar
	sie bilden eine Divisionsalgebra
	in dem reelle Algebra (gekennzeichnet durch eindeutig ausführbare Division) möglich ist
	Sie sind nicht immer assoziativ (alternatives System)
	aber der höchstdimensionale Zahlenbereich
	Beispiele: 7 + 8i + 3j - 12k + 4E - 8I - 9J + 12K Wenn wir uns einen Überblick über die Zahlenbereiche von den natürlichen Zahlen bis zu den Oktaven verschaffen
	stellen wir folgende allgemeingültige Beziehung zwischen den einzelnen Bereichen fest: <math>mathbb{N} sub mathbb{Z} sub mathbb{Q} sub mathbb{R} sub mathbb{C} sub mathbb{H} sub mathbb{O}<math> Sedenionen (Symbol: <math>mathbb{S}<math>) Die Sedenionen sind ein Zahlenbereich mit 16 Dimensionen
	Sie fallen jedoch aus dem normalen Rahmen
	da sie keine reelle Algebra mehr zulassen
	Es gelten weder Kommutativ- noch Assoziativgesetz
	Elemente
	statt dessen besitzen sie Nullteiler
	die bei Multiplikation Null ergeben können
	<math> mathbb{O}<math> und <math>mathbb{S}<math> sind keine Körper
	die mathematischen Objekte jenseits von <math>mathbb{C}<math> nicht als "Zahlen" zu bezeichnen: (1) Die erwähnten Systeme <math> mathbb{H}<math>
	Es gibt gute Gründe
	die Rechenregeln des Körpers zu verwenden und fordern. Außerdem gibt es für die Körper der rationalen Zahlen auch Körpererweiterungen in anderen Richtungen als in die reellen und komplexen Zahlen
	dass die einzigen wesentlichen normierten Körper <math> mathbb{R}<math> und <math> mathbb{C}<math> sind
	Im gewöhnlichen Rechnen haben wir uns aber angewöhnt
	zum Beispiel in die Körper der p-adischen Zahlen und deren algebraische Ergänzungen. (2) Der Satz von Gelfand-Tornheim (http://planetmath.org/encyclopedia/GelfandTornheimTheorem.html ) besagt
	5
	7
	1
	5
	Eine Folgerung hieraus ist
	u+2
	2
	-2} Ungerade Zahlen U {...
	...} Negative gerade Zahlen G- {...
	...} Natürliche Zahlen zwischen u und o Nuo {u
	4
	...} Hyperreelle Zahlen *R Surreale Zahlen Sω eo:Aroj de nombroj
	...} Positive ungerade Zahlen U+ {1
	-3
	k+2
	u+1
	-2
	-3
	-1} Primzahlen P {2
	-4
	...
	k+1
	3
	-5
	-1
	-5
	...} Positive gerade Zahlen G+ {2
	5
	...} Negative ungerade Zahlen U- {...
	3
	-4
	o} Gerade Zahlen G {...
	3
	4
	0
	dass der absolute Betrag nur in den Unterkörpern von <math> mathbb{C}<math> definiert ist. Sonstige Zahlenbereiche Bezeichnung Symbol Definition Natürliche Zahlen ab k Nk {k
	11

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