Trigonometrische Funktion

Stichpunkte

Allgemein
	Mit trigonometrischen Funktionen oder auch Winkelfunktionen bezeichnet man rechnerische Zusammenhänge zwischen Winkel und Seitenverhältnissen (ursprünglich in rechtwinkligen Dreiecken)
	"Verbergen") 1 Übersicht der trigonometrischen Funktionen 2 Definition 3 Anwendung der trigonometrischen Funktionen 4 Umkehrung der trigonometrischen Funktionen 5 Funktionale Zusammenhänge 6 Weblinks [Bearbeiten]
	Tabellen mit Verhältniswerten für bestimmte Winkel ermöglichen Berechnungen bei Vermessungsaufgaben
	die Winkel und Seitenlängen in Dreiecken nutzen. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
Ãœbersicht der trigonometrischen Funktionen
	Die elementaren trigonometrischen Funktionen sind die Sinusfunktion (abgekürzt sin)
	die Kosinusfunktion (abgekürzt cos)
	die Tangensfunktion (abgekürzt tan oder tg) und die Kotangensfunktion (abgekürzt cot). Zwischen diesen Funktionen bestehen enge Zusammenhänge
	Genau genommen würde bereits eine der Funktionen ausreichen
	um beliebige trigonometrische Probleme lösen zu können
	Die Verwendung vier verschiedener Funktionen ermöglicht jedoch eine Vereinfachung der Rechnungen und Formeln
	Die Beziehungen zwischen den Funktionen werden in der Formelsammlung Trigonometrie näher ausgeführt
	sie werden aber seltener benutzt: Sekansfunktion (Kehrwert des Kosinus
	Die Kehrwerte der obigen Funktionen sind ebenfalls trigonometrische Funktionen
	csc x = 1/sin x) und Kotangensfunktion (Kehrwert des Tangens
	sec x = 1/cos x) Kosekansfunktion (Kehrwert des Sinus
	cot oder ctg = cos x/sin x; Verhältnis der An-Kathete zur Gegen-Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck). [Bearbeiten]
Definition
	Ursprünglich als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken und daher nur für Winkel von 0 bis 90 Grad definiert (siehe Sinus
	können die Winkelfunktionen als Sekanten- und Tangentenabschnitte am Einheitskreis auch auf größere Winkel erweitert werden
	Tangens)
	Kosinus
	Vom Schnittpunkt des einen Winkelschenkels mit dem Einheitskreis werden die Lote auf die beiden Koordinatenachsen gefällt und liefern Sinus und Kosinus des Winkels
	Die Tangenten in den Punkten x = 1 bzw. y = 1 schneiden den Schenkel ebenfalls und liefern dann in der Projektion auf die Achsen den Tangens und den Kotangens
	Dabei muss der Schenkel gegebenenfalls rückwärts verlängert werden
	um einen Schnittpunkt zu erzielen
	die nun freilich auch negativ werden können (siehe Abbildung). Die Vorzeichen der Winkelfunktionen in Abhängigkeit vom Quadranten gibt die folgende Tabelle an: Quadrant sin cos tan cot I + + + + II + − − − III − − + + IV − + − − Eine Tabelle spezieller Werte findet sich unter Reduktionsformeln. [Bearbeiten]
	Auf diese Weise können jedem Winkel von 0 bis 360 Grad Werte der Winkelfunktionen zugeordnet werden
Anwendung der trigonometrischen Funktionen
	Hauptsächlich werden die trigonometrischen Funktionen im Vermessungswesen genutzt
	Für eine Liste von Formeln zur Berechnung von Größen am Dreieck siehe den Artikel Dreiecksgeometrie
	Weiterhin sind sie in der Analysis und bei vielen Anwendungen der Physik wichtig
	die besonders bei Funktionen komplexer Zahlen und in der Taylorreihe der Funktionen sichtbar wird. [Bearbeiten]
	Es besteht eine enge Beziehung zur Exponentialfunktion
Umkehrung der trigonometrischen Funktionen
	um aus Seitenverhältnissen Winkel zu berechnen
	In manchen Situationen werden die trigonometrischen Winkelfunktionen benötigt
	Dazu werden die Arcus-Funktionen oder inverse Winkelfunktionen arcsin
	arccos
	arctan und arccot- die Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen - verwendet
	was die Umkehrung zu sin andeuten solle
	Auf Taschenrechnern sind sie häufig (irreführenderweise) mit sin-1 usw. bezeichnet
	um zu einem Seitenverhältnis den Winkel zu berechnen
	Die Arcus-Funktionen werden verwendet
	in welchem Quadrant der gesuchte Winkel liegt. [Bearbeiten]
	Wegen der Symmetrie der trigonometrischen Funktionen ist bei ihnen zu klären
Funktionale Zusammenhänge
	siehe: Formelsammlung Trigonometrie [Bearbeiten]
Weblinks
	inverse Winkelfunktionen (http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/i.html#inverseWinkelfunktionen) en:Trigonometric function eo:Trigonometrio es:Trigonometría fr:Fonction trigonométrique he:טריגונומטריה it:Funzioni trigonometriche ja:三角関数 nl:Trigonometrie pl:Funkcje trygonometryczne kÄ…ta skierowanego pt:Função trigonométrica sl:trigonometriÄ?na funkcija sv:Trigonometrisk funktion

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