Winkel (Geometrie)

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Winkel (Geometrie)

Stichpunkte

Allgemein
	Der Winkel ist ein Objekt der Geometrie
	wie sich zwei Geraden oder zwei Ebenen schneiden. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	45 Grad Winkel) 6 Winkelmessung 7 Weblinks [Bearbeiten]
	Mit einem Winkel kann man messen
	Mittelsenkrechte): 5.2 Konstruktion eines 60 Grad Winkels 5.2.1 Folgerung (Konstruktion gleichseitige Dreiecke): 5.2.2 Folgerung (Konstruktion von Sechsecken (Hexagon)): 5.3 Winkelhalbierung 5.3.1 Folgerung (30 Grad Winkel
	"Verbergen") 1 Definition 2 Arten von Winkeln 3 GebrÃ¤uchliche WinkelmaÃŸe 4 Beziehungen zwischen Winkeln 5 Winkelkonstruktion 5.1 Konstruktion des 90 Grad Winkels (oder rechten Winkels): 5.1.1 Folgerung (Streckenhalbierung
Definition
	die in einer Ebene liegen. (In den beiden Ausnahmen gestreckter Winkel und Vollwinkel sind es unendlich viele Ebenen) Einer dieser Punkte ist Ausgangspunkt von zwei Strahlen
	die durch die anderen beiden Punkte laufen
	Ein Winkel wird durch 3 Punkte definiert
	Der erste Punkt heiÃŸt Scheitel des Winkels
	Die beiden Strahlen heiÃŸen Schenkel des Winkels
	etwa zweier Geraden oder zweier Ebenen gegeneinander. Mit Hilfe des Einheitskreises wird dieses und die Definition der Winkelfunktionen (Trigonometrische Funktion) deutlich
	ein Winkel entsteht immer durch eine Drehung
	Man kann auch sagen
	Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstaben z.B. Î± oder Î² bezeichnet
	die den Winkel definieren: z.B
	Alternativ gibt man die drei Punkte an
	Winkel ABC [Bearbeiten]
Arten von Winkeln
	spitzer Winkel  kleiner Â¼ Vollwinkel: (0Â°
	Â½Â·Ï€); rechter Winkel  gleich Â¼ Vollwinkel: 90Â° = 100g = Â½Â·Ï€; stumpfer Winkel  grÃ¶ÃŸer Â¼ und kleiner Â½ Vollwinkel: (90Â°
	400g) = (Ï€
	90Â°) = (0g
	Ï€); gestreckter Winkel  gleich Â½ Vollwinkel: 180Â° = 200g = Ï€; Ã¼berstumpfer Winkel  grÃ¶ÃŸer Â½ und kleiner 1 Vollwinkel: (180Â°
	180Â°) = (100g
	2Â·Ï€); Vollwinkel  360Â° = 400g = 2Â·Ï€. [Bearbeiten]
	200g) = (Â½Â·Ï€
	360Â°) = (200g
	100g) = (0
GebrÃ¤uchliche WinkelmaÃŸe
	Grad (Einheit Altgrad
	evtl. unterteilt in Minuten und Sekunden) Rechter Winkel = 90Â° Vollwinkel = 360Â° Arcus = BogenmaÃŸ (Einheit Radiant) Rechter Winkel = Ï€:2 Vollwinkel = 2Ï€ Gon (Einheit Neugrad) Rechter Winkel = 100 gon Vollwinkel = 400 gon Winkelgrad = 180:Ï€Â·BogenmaÃŸ z.B
	dargestellt als Â°
	14 â‰ˆ 57
	3 Grad [Bearbeiten]
	BogenmaÃŸ = 1 daraus folgt Winkelgrad = 180:3
Beziehungen zwischen Winkeln
	die einander zu 90Â° ergÃ¤nzen; Supplementwinkel  Zwei Winkel
	benennt man unter anderem als Stufenwinkel und Wechselwinkel
	die entstehen
	so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel; Scheitelwinkel  Schneiden sich zwei Geraden
	die einander zu 180Â° ergÃ¤nzen; Nebenwinkel  Schneiden sich zwei Geraden
	so bezeichnet man das Paar nicht benachbarter Winkel als Scheitelwinkel. Die Beziehungen zwischen Winkeln
	Komplementwinkel  Zwei Winkel
	wenn zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten werden
	um bei der Untersuchung von geometrischen Objekten mÃ¶glichst bÃ¼ndige Formulierungen anbringen zu kÃ¶nnen. [Bearbeiten]
	In der Geometrie werden derartige Bezeichnungen gerne verwendet
Winkelkonstruktion
	Einige Winkel kann man allein mit Zirkel und Lineal konstruieren
	60 Grad- und 30 Grad-Winkel
	Dazu gehÃ¶ren der 90 Grad-
	jeder Winkel kann allein mit Hilfe von Zirkel und Lineal gedrittelt werden
	Die Aussage
	gilt im Allgemeinen nicht! [Bearbeiten]
Konstruktion des 90 Grad Winkels (oder rechten Winkels):
	Man konstruiert genauergesagt die Senkrechte zu einer bereits gegebenen Strecke
	Man nimmt zwei auf der Strecke im gleichen Abstand um den Scheitelpunkt liegende Punkte
	so muss diese ein StÃ¼ck verlÃ¤ngert werden
	Falls der Scheitelpunkt der Randpunkt einer Strecke ist
	gegenÃ¼berliegenden Schnittpunkte mit der (gegebenenfalls verlÃ¤ngerten) Strecke
	Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel
	steche am Scheitelpunkt ein und zeichne die beiden
	sich schneidender Kreise um die eben konstruierten Punkte und verbinden diese Schnittpunkte durch eine Gerade. Konstruktion: Man nehme einen beliebig grÃ¶ÃŸeren Abstand in den Zirkel als eben und steche jeweils an den Schnittpunkten auf der gegebenen Strecke ein und ziehe jeweils einen Kreis
	Wir bestimmten nun die Schnittpunkte zweier gleich groÃŸer
	Nun Verbinde man die beiden so entstanden
	neuen Schnittpunkte der Kreise mit dem Lineal. Diese Verbindungslinie schneidet unsere gegebene Strecke im rechten Winkel und zwar genau im Scheitelpunkt
	auf dem der Schnittpunkt liegt
	Ratschlag: Man braucht die Kreise nicht ganz zu schlagen; Es reicht jeweils einen Bogenabschnitt zu ziehen
	Allerdings verschÃ¤tzt man sich leicht
	Die Schnittpunkte liegt genau Ã¼ber (bzw. unter) dem Scheitelpunkt in senkrechter Verbindung zur gegebenen Strecke
	Daumenregel fÃ¼rs Zeichnen: Je grÃ¶ÃŸer die AbstÃ¤nde und je grÃ¶ÃŸer der Unterschied zwischen den AbstÃ¤nden
	desto genauer wird es. [Bearbeiten]
Folgerung (Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte):
	in dem man Kreise
	Man halbiert eine gegebene Strecke
	deren Radius grÃ¶ÃŸer ist als die hÃ¤lfte der Strecke
	um die Endpunkte dieser Strecke zieht
	so schneidet diese Verbindungslinie die Gerade genau in der Mitte und im rechten Winkel. Allso konstruiert man Mittelsenkrechten! [Bearbeiten]
	die beide Kreise miteinander haben
	Verbindet man nun die Schnittpunkte
Konstruktion eines 60 Grad Winkels
	Wir konstruieren um den Scheitelpunkt auf einer gegebenen Strecke einen Kreis und tragen ausgehend vom Schnittpunkt zwischen Kreis und Strecke einmal den Radius des Kreises auf dem Kreis selbst ab
	Die Verbindung zwischen Scheitelpunkt und dem so konstruierten Schnittpunkt schlieÃŸt mit der gegebenen Gerade einen 60 Grad Winkel ein. Konstruktion: Man nehme einen beliebigen Abstand in den Zirkel
	steche im Scheitelpunkt ein und schlage einen Kreis
	Man behalte den Abstand im Zirkel und steche dann im Schnittpunkt zwischen Kreis und gegebener Gerade ein und zeichne einen weiteren Schnittpunkt mit dem Kreis
	Man verbinde diesen Schnittpunkt und den Scheitelpunkt durch eine Linie mittels Lineal. [Bearbeiten]
Folgerung (Konstruktion gleichseitige Dreiecke):
	Verbindet man zusÃ¤tzlich den im ersten Schritt konstruierten Schnittpunkt auf der gegebenen Strecke mit dem zuletzt konstruierten Schnittpunkt
	so erhÃ¤lt man ein gleichseitiges Dreieck
	nehme die SeitengrÃ¶ÃŸe in den Zirkel
	Dieses hat folglich drei gleichgroÃŸe Winkel von je 60 Grad. Muss man also ein gleichseitiges Dreieck aus gegebener SeitengrÃ¶ÃŸe konstruieren
	und schlage um einen beliebigen Punkt auf der Linie einen Kreis
	so zeichne man eine Linie
	Man sticht auf dem Schnittpunkt zwischen Kreis und Linie ein und trÃ¤gt so die SeitenlÃ¤nge auf dem Kreis selbst ab
	Nun verbinde man den zuletzt konstruierten Punkt mit beiden Einstichpunkten. [Bearbeiten]
Folgerung (Konstruktion von Sechsecken (Hexagon)):
	wenn man alle auf dem Kreis nebeneinanderliegenden Schnittpunkte durch eine Gerade verbindet
	so erhÃ¤lt man
	TrÃ¤gt man auf einem beliebigen Kreis den Radius
	ein regelmÃ¤ÃŸiges Sechseck
	mit dem Zirkel ab
	den der Kreis selbst hat
	deren Winkel am Kreismittelpunkt jeweils 60 Grad betrÃ¤gt
	dass wenn man den Kreismittelpunkt mit den Ecken des Sechsecks verbindet jeweils 6 gleichseitige Dreiecke erhÃ¤lt
	Dies liegt daran
	deren Besonderheit ist
	auch noch gleichseitig zu sein. [Bearbeiten]
	6x60 Grad = 360 Grad
	also ein Kreis gleichschenkliger Dreiecke
Winkelhalbierung
	Ein Winkel besteht stets aus zwei Schenkeln
	die sich im Scheitelpunkt treffen
	so bildet die Strecke zwischen den Kreisschnittpunkten die Winkelhalbierende
	Zieht man nun zwei gleichgroÃŸe Kreise auf je einem Schenkel durch den Scheitelpunkt
	Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel und steche am Scheitelpunkt ein
	Man zeichne so die Schnittpunkte mit den beiden Schenkeln ein
	Nun behÃ¤lt man den Abstand im Zirkel
	sticht an je einem der Schnittpunkte ein und schlÃ¤gt um sie je einen Kreis
	Man verbinde beide Schnittpunkte durch eine Linie mit dem Lineal und erhÃ¤lt so die Winkelhalbierende. [Bearbeiten]
Folgerung (30 Grad Winkel, 45 Grad Winkel)
	Konstruiert man einen 60 Grad Winkel und halbiert diesen
	so erhÃ¤lt man einen 30 Grad Winkel. Ã„hnlich erhÃ¤lt man aus einem 90 Grad Winkel einen 45 Grad Winkel. [Bearbeiten]
Winkelmessung
	mit dem Geodreieck mit dem Theodolit mit dem Goniometer mit dem Sextanten historisch mit dem Jakobsstab [Bearbeiten]
Weblinks
	ErklÃ¤rung der Winkelmessung mit dem Theodolit (http://www.vermessungsseiten.de/kiel/vetheode.htm) bg:ÐªÐ³ÑŠÐ» da:Vinkel en:Angle eo:Angulo fi:Kulma fr:Angle it:Angolo ca:Angle ja:角度 ko:각 (수학) nl:Hoek pl:Kąt ru:Угол simple:Angle sv:Vinkel ar:زاوية zh:角

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Allgemein

Definition

Arten von Winkeln

GebrÃ¤uchliche WinkelmaÃŸe

Beziehungen zwischen Winkeln

Winkelkonstruktion

Konstruktion des 90 Grad Winkels (oder rechten Winkels):

Folgerung (Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte):

Konstruktion eines 60 Grad Winkels

Folgerung (Konstruktion gleichseitige Dreiecke):

Folgerung (Konstruktion von Sechsecken (Hexagon)):

Winkelhalbierung

Folgerung (30 Grad Winkel, 45 Grad Winkel)

Winkelmessung

Weblinks