Vektor

Stichpunkte

Allgemein
	Für andere Bedeutungen des Wortes Vektor siehe Vektor (Begriffsklärung). Vektoren haben eine spezielle und eine allgemeinere Bedeutung in der Mathematik
	das mit seinesgleichen addiert werden kann und das mit Zahlen (sog
	In allgemeinster Form ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums
	d.h. ein Objekt
	Skalaren) multipliziert werden kann
	muss jeder Punkt um 7 Einheiten nach rechts und 3 nach oben verschoben werden
	Eine Multiplikation von Vektoren ist im Allgemeinen nicht definiert. In der Geometrie ist ein Vektor eine Klasse von Pfeilen gleicher Länge (Betrag)
	gleicher Richtung und gleicher Orientierung. Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Figur an die Position A'B'C' zu verschieben
	Er bewegt sich dabei längs eines Pfeils <math>vec v<math>
	Da diese Pfeile in Länge
	Richtung und Orientierung alle übereinstimmen
	fasst man sie zu einer Klasse (Vektorklasse) zusammen
	die man ebenfalls kurz mit <math>vec v<math> bezeichnet
	Jeder Pfeil ist ein Repräsentant dieser Klasse
	im dreidimensionalen Raum entsprechend mit 3 Koordinaten
	die ihre Pfeile bewirken
	im Beispiel: <math>vec v = begin{pmatrix} 7 \ 3 end{pmatrix}<math>
	Man beschreibt die Klasse durch die Verschiebung
	siehe weiter unten
	die neben den "herkömmlichen"
	Die Definition des Vektors in der linearen Algebra als Element eines Vektorraumes ist eine viel umfassendere
	geometrischen Vektoren verschiedenste mathematische Objekte (Zahlen
	Folgen
	Funktionen und Transformationen) beinhaltet
	Demnach ist auch jeder Tensor ein Vektor
	obwohl man per Konvention zweidimensionale Vektoren als Matrix und mehrdimensionale Vektoren als Tensoren bezeichnet
	Geldbeträge usw. usf. - sind in diesem Sinn Vektoren
	Auch alle benannten Größen - wie Längenangaben in m
	der Physik und der Technik bezieht sich der Ausdruck Vektor normalerweise auf einen geometrischen Vektor des euklidischen Raumes
	der durch einen Betrag
	eine Richtung und eine Orientierung gegeben ist
	In der Differentialgeometrie
	Impuls
	Moment und Beschleunigung
	Kraft
	Beispiele sind Geschwindigkeit
	Nach dieser Definition ist ein Vektor ein Tensor erster Stufe
	Alle folgenden Betrachtungen beziehen sich auf solche Vektoren
	allgemeine Eigenschaften finden sich unter Vektorraum
	Energie
	die zwar einen Betrag
	aber keine Richtung und keine Orientierung haben
	Leistung
	Vektoren kann man skalare Größen wie Abstand
	Temperatur
	Ladung
	Zeit
	Arbeit und Masse gegenüberstellen
	Vektoren sind normalerweise ungebunden
	das heißt
	sie haben keinen fixen Ausgangspunkt
	die kollinear (d.h. parallel sind
	Ein Vektor kann daher als die Menge aller "Pfeile"
	angesehen werden
	also die gleiche Richtung besitzen)
	gleich lang und gleich orientiert sind
	Sie dienen im Allgemeinen dazu
	eine Richtung anzuzeigen - siehe auch Richtungsvektor
	Im Unterschied dazu haben gebundene Vektoren einen Ursprung (Ausgangspunkt)
	als so genannte Ortsvektoren
	die Position eines Punktes im Raum angeben
	Sie können zum Beispiel
	sind teilweise gebunden
	die auf Starrkörper wirken
	Kräfte
	Sie wirken entlang einer bestimmten Geraden
	Es ist egal
	an welchem Punkt der Geraden sie angreifen
	Man nennt sie "linienflüchtige" Vektoren
	Ein Vektor mit der Länge 1 heißt Einheitsvektor
	indem man ihn normiert
	Man kann jeden Vektor zu einem Einheitsvektor machen
	dass heißt alle Koordinaten durch den Betrag (die Länge) des Vektors teilt
	gleicher Richtung aber entgegengesetzter Orientierung eines anderen Vektors ist dessen Gegenvektor. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	Ein Vektor mit gleichem Betrag
	"Verbergen") 1 Darstellungsformen 2 Rechenoperationen 2.1 Addition und Subtraktion 2.2 Multiplikation mit einem Skalar 2.3 Skalarprodukt 2.4 Winkel zwischen zwei Vektoren 2.5 Kreuzprodukt 3 Weblinks 4 Siehe auch [Bearbeiten]
Darstellungsformen
	also die Länge
	in anderen Wikipedia-Artikeln kommt aber auch der Fettdruck vor.) Ist der Betrag
	wird der Vektor mit zwei senkrechten Betragsstrichen eingeklammert: <math>|vec{a}|<math> Grafisch werden Vektoren normalerweise als Pfeile dargestellt: A wird in diesem Fall als Ausgangs- oder Startpunkt und B als Spitze oder Endpunkt des Vektors bezeichnet
	die für Vektoren stehen
	des Vektors gemeint
	Variablen
	werden normalerweise mit einem Pfeil gekennzeichnet (<math>vec{a}<math>) oder fett geschrieben (a). (Anmerkung: In diesem Artikel wird durchgängig die Pfeilschreibweise verwendet
	die Länge seinen Betrag und der Pfeilschaft seine Richtung an
	Die Lage der Pfeilspitze gibt die Orientierung des Vektors
	Dieser Vektor kann auch als <math>overrightarrow{AB}<math> bezeichnet werden und sein Betrag als <math>|overrightarrow{AB}|<math> bzw. <math>overline{AB}<math>
	Dabei ist zu beachten
	dass diese ihn nur definieren
	sondern
	dass der Vektor nicht an die Punkte A und B gebunden ist
	ist die grafische Notation natürlich unpraktisch
	Um mit Vektoren sinnvoll rechnen zu können
	In einem n-dimensionalem Euklidischen Raum können Vektoren als Linearkombination von n Basisvektoren dieses Raumes dargestellt werden
	Im kartesischen Koordinatensystem nimmt man dafür n paarweise aufeinander normal stehende Einheitsvektoren. Als Beispiel für diesen Artikel soll immer der dreidimensionale Vektorraum R³ mit einem kartesischen Koordinatensystem dienen
	y- bzw. z-Achse
	Sind <math>vec{i}<math>
	<math>vec{j}<math> und <math>vec{k}<math> die Einheitsvektoren in Richtung der x-
	kann jeder Vektor als <math>vec{a} = a_1vec{i} + a_2vec{j} + a_3vec{k} <math> angeschrieben werden
	a2 und a3 sind eindeutig durch <math>vec{a}<math> festgelegt
	Die reellen Zahlen a1
	da es für viele Rechnungen am einfachsten ist
	Oft schreibt man Vektoren auch kurz als 3x1- oder 1x3-Matrix: <math>vec{a} = begin{pmatrix}a_1 \ a_2 \ a_3end{pmatrix}quadmbox{ oder }quad vec{a} = begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3 \end{pmatrix}<math> Mit dieser Schreibweise ist zwar die Wahl des Koordinatensystems nicht festgehalten
	falls nicht anderes angegeben ist aber immer das kartesische Koordinatensystem gemeint
	Man kann dann die Koordinaten eines Vektor auch so darstellen: <math>vec{a} = a_1begin{pmatrix}1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} + a_2begin{pmatrix}0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} + a_3begin{pmatrix}0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}<math> Aus dem Satz von Pythagoras folgt
	dass der Betrag des Vektors folgendermaßen berechnet werden kann: <math>|vec{a}| = sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}<math> [Bearbeiten]
Rechenoperationen
	[Bearbeiten]
Addition und Subtraktion
	Die Summe der beiden Vektoren <math>vec a= a_1vec i + a_2vec j + a_3vec k mathrm{und} vec b = b_1vec i + b_2vec j + b_3vec k<math> berechnet sich als: <math>vec{a}+vec{b} = (a_1+b_1)vec{i} + (a_2+b_2)vec{j} + (a_3+b_3)vec{k} = begin{pmatrix}a_1+b_1 \ a_2+b_2 \ a_3+b_3end{pmatrix}.<math> Die Vektoraddition kann man graphisch interpretieren indem man den Startpunkt des zweiten Vektors an den Endpunkt des ersten Vektors anschließt
	Der Pfeil vom Startpunkt des ersten Vektors bis zum Endpunkt des zweiten Vektors repräsentiert den Ergebnisvektor: Die Vektoren <math>vec a<math> und <math>vec b<math> können hier als Seiten eines Parallelogramms aufgefasst werden und der Ergebnisvektor als die (längere) Diagonale
	Für die Addition von Vektoren gilt das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz
	indem man den Startpunkt des Gegenvektors des zweiten Vektors an den Endpunkt des ersten Vektors anschließt
	Die Differenz dieser beiden Vektoren ist: <math>vec{a}-vec{b} = (a_1-b_1)vec{i} + (a_2-b_2)vec{j} + (a_3-b_3)vec{k} = begin{pmatrix}a_1-b_1 \ a_2-b_2 \ a_3-b_3end{pmatrix}.<math> Die geometrische Interpretation der Subtraktion von zwei Vektoren ist: Zwei Vektoren werden subtrahiert
	Der Pfeil des Ergebnisvektors beginnt im Startpunkt des ersten Vektors und endet im Endpunkt des Gegenvektors des zweiten Vektors
	Geometrisch entspricht dem der Verbindungsvektor zwischen den Endpunkten des zweiten und des ersten Vektors. [Bearbeiten]
Multiplikation mit einem Skalar
	um sie von Vektoren unterscheiden zu können
	oft Skalare genannt
	multipliziert werden: <math>rvec{a} = (ra_1)vec{i} + (ra_2)vec{j} + (ra_3)vec{k} = begin{pmatrix}ra_1 \ ra_2 \ ra_3end{pmatrix}<math> Die Länge des resultierenden Vektors ist daher <math>|r|cdot|vec{a}|<math>
	Vektoren können mit reellen Zahlen
	ändert sich zusätzlich die Richtung um 180°
	Wenn der Skalar negativ ist
	Die folgende Grafik illustriert zwei Beispiele (Multiplikation mit -1 und 2): Für die Vektoraddition und die Multiplikation mit einem Skalar gilt das Distributivgesetz: <math>rcdot(vec a + vec b) = rvec a + rvec b<math> Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar wird häufig auch S-Multiplikation genannt. [Bearbeiten]
Skalarprodukt
	<math> wobei θ der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist. (siehe auch Kosinus)
	so genannt weil das Ergebnis ein Skalar ist
	wird notiert als <math>vec acdotvec b<math> und ist definiert als <math>vec{a}cdotvec{b} =left|vec{a}right|left|vec{b}right|cos(theta)
	Das Skalarprodukt (oder Inneres Produkt) zweier Vektoren <math>vec a<math> und <math>vec b<math>
	Im Kartesischen Koordinatensystem berechnet es sich als <math>vec{a}cdotvec{b} = begin{pmatrix}a_1 \ a_2 \ a_3 end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}b_1 \ b_2 \ b_3 end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3<math> Geometrisch bedeutet das Skalarprodukt eine Multiplikation der Länge des ersten Vektors mit der Länge der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten Vektor
	Daher ist das Skalarprodukt zweier orthogonal aufeinander stehender Vektoren immer 0
	wenn Kraft und Weg nicht in der selben Richtung verlaufen. Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz. [Bearbeiten]
	zum Beispiel um die Arbeit zu berechnen
	Diese Operation wird oft in der Physik gebraucht
Winkel zwischen zwei Vektoren
	die aus dem Skalarprodukt folgt: <math> cos varphi = frac{vec{x}cdotvec{y}}{left|vec{x}right|cdotleft|vec{y}right|} <math> [Bearbeiten]
	Der Winkel <math>varphi <math>zwischen zwei Vektoren <math>vec{x}<math> und <math>vec{y}<math> kann mit folgender Formel berechnet werden
Kreuzprodukt
	äußeres Produkt oder Vektorprodukt) (notiert als <math>vec atimesvec b<math>) zweier Vektoren in einem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor
	Das Kreuzprodukt (auch vektorielles Produkt
	der normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) auf der von <math>vec a<math> und <math>vec b<math> aufgespannten Ebene steht
	Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum R3 ist das Kreuzprodukt von a und b definiert als <math> vec{a}timesvec{b} = left|vec{a}right| left|vec{b}right| sin(theta) vec{n}<math> wobei <math>theta<math> der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel (siehe auch Sinus)
	und <math>vec n<math> der zu beiden Vektoren normale Einheitsvektor ist
	dass es zwei Vektoren gibt
	Diese Definition hat allerdings das Problem
	die normal auf <math>vec a<math> und <math>vec b<math> stehen
	Den korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes
	d.h. sowohl die Koordinatenachsen (x
	y und z) als auch die Vektoren <math>vec a<math>
	wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher oft Rechte-Hand-Regel genannt)
	Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand
	<math>vec b<math> und <math>vec{a}timesvec{b}<math> verhalten sich wie Daumen
	Das heutzutage verwendete Koordinatensystem ist "rechtshändig" (ein so genanntes "Rechts-System")
	Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt darstellen als: Im Kartesischen Koordinatensystem kann das Kreuzprodukt berechnet werden als: <math> vec{a}timesvec{b} = begin{pmatrix}a_1 \ a_2 \ a_3end{pmatrix} times begin{pmatrix}b_1 \ b_2 \ b_3 end{pmatrix} = begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 end{pmatrix} <math> Der Betrag von <math>vec atimesvec b<math> entspricht der Fläche des von <math>vec a<math> und <math>vec b<math> aufgespannten Parallelogramms
	Für das Kreuzprodukt gilt nicht das Kommutativgesetz sondern das sogenannte Anti-Kommutativgesetz: <math>vec{a}timesvec{b} = - vec{b}timesvec{a}<math> Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n-dimensionale Räume
	sondern n-1 Vektoren
	die allerdings nicht mehr nur zwei Vektoren verknüpfen
	der auf allen senkrecht steht und dessen Länge und Richtungssinn von den Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt
	Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist ein Vektor
	Siehe dazu: Kreuzprodukt. [Bearbeiten]
Weblinks
	Javaapplet zur Veranschaulichung der Vektoraddition (http://www.virtualuniversity.ch/mathematik/32.html) Javaapplet zur Veranschaulichung des Kreuzprodukts (http://www.phy.syr.edu/courses/java-suite/crosspro.html) [Bearbeiten]
Siehe auch
	Analytische Geometrie Spatprodukt Vektorgrafik Pseudovektor da:Vektor (matematik) en:Vector (spatial) eo:Vektoro es:Vector fr:Vecteur is:Vigur ja:ベクトル ko:벡터 nl:Vector (wiskunde) pl:Wektor sl:Vektor (matematika) sv:Vektor (matematik) uk:Вектор

[X] Schliessen

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