Umkehrfunktion

Stichpunkte

Allgemein
	die jedem Element der Wertemenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist. (Bei bijektiven Funktionen hat die Urbildmenge jedes Elements genau ein Element.) [Bearbeiten]
	Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion ist die Funktion
Schreibweise
	Wenn f: A → B eine bijektive Funktion ist
	dann bezeichnet f -1: B → A die Umkehrfunktion
	Dabei ist das -1 nicht mit einer negativen Potenz bezüglich der Multiplikation zu verwechseln; es handelt sich bei dieser Schreibweise vielmehr um die Umkehrung der Hintereinanderausführung von Funktionen
	das die Gleichung f(x) = y erfüllt. [Bearbeiten]
	Der Funktionswert f -1(y) ist definiert als das (eindeutig bestimmte) x in A
Beispiel
	Sei f: R → R die Funktion mit f(x) = 3x + 2
	Diese ist bijektiv und die Umkehrfunktion ist gegeben durch f -1(y) = (y-2)/3
	f(x) = x2 eine eingeschränkte Quadrat-Abbildung
	Sei R0+ = [0
	∞) die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen und f: R0+ → R0+
	Dann ist f bijektiv
	f(x) = √x
	Die Umkehrfunktion f -1 ist gegeben durch f -1: R0+ → R0+
	Siehe dazu auch die weiteren Beispiele im Artikel Injektivität
	Die Umkehrfunktionen von Einschränkungen der trigonometrische Funktionen Sinus (sin)
	Cosinus (cos) und Tangens (tan) auf geeignete Definitions- und Wertebereiche (auf denen diese Einschränkungen bijektiv sind) heißen Arcus-Funktionen: Arcus-Sinus (arcsin)
	Arcus-Cosinus (arccos) und Arcus-Tangens (arctan)
	Die Umkehrungen geeigneter Einschränkungen der Hyperbelfunktionen Sinus Hyperbolicus (sinh)
	Cosinus-Hyperbolicus (cosh) und Tangens Hyperbolicus (tanh) heißen Area-Funktionen: Areasinus Hyperbolicus (arsinh)
	Areacosinus Hyperbolicus (arcosh) und Areatangens Hyperbolicus (artanh). [Bearbeiten]
Eigenschaften
	d.h. (f -1)-1 = f. Ist f: A → B eine bijektive Funktion
	Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion
	g(f(x)) = x für alle x aus A
	dann gilt für die Umkehrfunktion: f(f -1(x)) = x für alle x aus B
	f -1(f(x)) = x für alle x aus A. Sind f: A → B und g: B → A zwei Funktionen mit den Eigenschaften f(g(x)) = x für alle x aus B
	dann sind beide Funktionen bijektiv und g ist die Umkehrfunktion von f
	indem man den Graph von f an der Diagonalen y = x spiegelt
	Ist f: A → B eine bijektive Funktion
	dann entsteht der Graph der Umkehrfunktion
	wobei A und B Teilmengen von R sind
	und f'(x) <math>neq<math> 0
	dann ist mit <math>y := f(x): (f^{-1})'(y)=frac{1}{f'(f^{-1}(y))}<math> en:Inverse function fr:Application réciproque pl:Funkcja odwrotna uk:Обернена функціÑ?
	Ist f: R → R differenzierbar

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