Umgebung (Mathematik)

Stichpunkte

Allgemein
	der in der Topologie allgemein definiert wird und auch in weiteren Teilgebieten wie der Analysis verwendet wird. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	Umgebung ist ein Begriff der Mathematik
	"Verbergen") 1 Definition 1.1 Umgebungsfilter 1.2 Umgebungsbasis 1.3 Erstes Abzählbarkeitsaxiom 2 Beispiele 3 Rekonstruktion der Topologie 4 Bei metrischen Räumen [Bearbeiten]
Definition
	Sei (X
	T) ein topologischer Raum und <math>pin X<math> ein Punkt des Raumes
	Eine offene Umgebung U von p ist eine offene Teilmenge
	die p enthält
	die eine offene Umgebung von p als Teilmenge besitzt. [Bearbeiten]
	Eine Umgebung von p ist eine Teilmenge
Umgebungsfilter
	der Umgebungsfilter von p heißt
	Die Menge aller Umgebungen eines Punktes p bildet einen Filter
	Der Umgebungsfilter ist eine Teilmenge der Potenzmenge von X. [Bearbeiten]
Umgebungsbasis
	Eine Menge <math>mathfrak{B}<math> von Umgebungen eines Punktes x heißt eine Umgebungsbasis von x
	wenn jede Umgebung ein Element von <math>mathfrak{B}<math> als Teilmenge hat. [Bearbeiten]
Erstes Abzählbarkeitsaxiom
	wenn jeder seiner Punkte eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt. [Bearbeiten]
	Man definiert: Ein topologischer Raum erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom
Beispiele
	dann ist {{x}} Umgebungsbasis von x. Jeder metrische Raum erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom
	Ist {x} offen
	denn für jedes reelle ε einer ε-Umgebung gibt es ein rationales δ mit δ < ε und die rationalen Zahlen sind abzählbar. [Bearbeiten]
Rekonstruktion der Topologie
	wenn man zu jedem Punkt alle Umgebungen kennt: Eine Menge ist genau dann offen
	wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist. [Bearbeiten]
	Man kann in einem topologischen Raum die offenen Mengen rekonstruieren
Bei metrischen Räumen
	In einem Metrischen Raum (M
	d) sind Raumeigenschaften der Menge M bereits durch die Metrik d festgelegt
	(x_0) := {
	wobei man zunächst für jeden Punkt der Menge die so genannten ε-Umgebungen definiert: <math> forall x_0 in M : forall epsilon > 0 : U_epsilon
	d
	x_0) < epsilon
	indem man Umgebungen herleitet
	} &lt;math&gt; Eine Teilmenge von M ist genau dann eine Umgebung des Punktes x
	Man zieht die topologischen Eigenschaften aus der Metrik heraus
	|
	x in M
	wenn sie eine ε-Umgebung von x enthält
	(x
	Die so definierten Umgebungen erfüllen die oben aufgeführten Axiome 1 bis 4 und bestimmen damit auf der Menge M eindeutig eine Topologie: die durch die Metrik induzierte Topologie
	Verschiedene Metriken können die selbe Topologie induzieren.

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