Topologie-Glossar

Stichpunkte

Allgemein
	Dies ist ein Glossar von einigen Begriffen
	die in dem Bereich der Mathematik vorkommen
	der als Topologie bekannt ist
	Dieses Glossar besteht aus zwei Teilen
	Der erste Teil beschäftigt sich mit allgemeinen Konzepten und der zweite Teil erklärt Typen von topologischen Räumen
	Alle Räume in diesem Glossar werden als topologische Räume angenommen. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Teil 1 -- Topologische Konzepte 2 Teil 2 -- Arten von topologischen Räumen 2.1 Trennungsaxiome 2.2 Kompaktheit 2.3 Größe 2.4 Zusammenhang 2.5 Verschiedenes [Bearbeiten]
Teil 1 -- Topologische Konzepte
	Stetig: Eine Funktion von einem Raum auf einen anderen ist stetig
	wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist. Homöomorph: Zwei Räume X und Y sind homöomorph
	so dass f und f -1 stetig sind
	falls es eine bijektive Abbildung f: X -> Y gibt
	Vom Standpunkt der Topologie aus sind X und Y gleich
	die M enthalten
	wenn jede Umgebung von x mit M einen nichtleeren Durchschnitt hat. Abschluss: Der Abschluss einer Teilmenge M eines Raumes R ist die Schnittmenge aller abgeschlossenen Mengen in R
	Die Funktion f wird Homöomorphismus genannt. Berührpunkt: Ein Punkt x eines topologischen Raumes X heißt Berührpunkt der Teilmenge M von X
	die die ursprüngliche Menge enthält. Innerer Kern: Der innere Kern einer Teilmenge M des Raumes R ist die Vereinigung aller offenen Mengen von R
	die in M enthalten sind
	Der Abschluss ist die kleinste abgeschlossene Menge
	die in der ursprünglichen Menge enthalten ist. Innerer Punkt: Ein innerer Punkt einer Teilmenge M des Raumes R ist ein Element des inneren Kerns
	für den es einen offene Menge O gibt
	deren Abschluss der ganze Raum ist. Nirgends dicht: Eine nirgends dichte Menge ist eine Menge
	die eine offene Menge enthält
	die zur Gänze in M enthalten ist und x enthält. Rand: Der Rand einer Menge ist der Abschluss der Menge minus ihrem inneren Kern. Dicht: Eine dichte Menge ist eine Menge
	die wiederum die Menge S enthält
	deren Abschluss einen leeren inneren Kern hat. Umgebung: Eine Umgebung einer Menge S ist eine Menge
	Er ist die größte offene Menge
	also ein Punkt x
	die p enthält. isolierter Punkt: Ein Punkt p eines topologischen Raums X heißt isoliert
	falls jede Umgebung von x ein Element von B enthält. Lokal endlich: Ein System von Teilmengen eines Raumes ist lokal endlich
	die nur endlich viele der Teilmengen berührt. Überdeckung: Ein System {Ui} von Mengen ist eine Überdeckung
	falls jede offene Menge eine Vereinigung von Mengen der Basis ist. Umgebungsbasis: Ein System B von Umgebungen eines Punktes x aus einem topologischen Raum X ist eine lokale Basis auf x
	falls jede offene Menge eine Vereinigung von endlichen Schnitten von Mengen in der Unter-Basis ist. Basis: Ein System von offenen Mengen ist eine Basis einer Topologie
	also eine offene Menge
	der ungleich p ist. (Äquivalent: Wenn p im Abschluss von <math>B setminus {p}<math> liegt. (Ein Häufungspunkt von B kann
	wenn jede Umgebung von p mindestens einen Punkt von B enthält
	muss aber nicht
	wenn die Menge {p} offen ist. Ein Punkt p einer Teilmenge B eines topologischen Raums X heißt isoliert in B
	die mit B den Schnitt {p} hat. Häufungspunkt: Ein Punkt p eines topologischen Raums X heißt Häufungspunkt einer Teilmenge B von X
	falls jeder Punkt eine Umgebung hat
	falls ihre Vereinigung der ganze Raum ist
	wenn es eine offene Menge U in X gibt
	Eine Umgebung eines Punktes p ist eine Umgebung der einelementigen Menge {p}
	in B selbst liegen.) Subbasis: Ein System von offenen Mengen ist eine Unter-Basis einer Topologie
	so dass jeder beliebige Punkt eine Umgebung hat
	falls jedes Element von K eine Teilmenge eines Elementes von L ist. Durch Funktionen trennbar: Zwei Mengen A und B in einem Raum sind durch Funktionen trennbar getrennt
	falls es eine stetige Funktion von dem Raum auf das Intervall [0
	dass A auf 0 abgebildet wird und B auf 1. Zerlegung der Eins: Eine Zerlegung der Eins (oder Unterteilung der Einheit) ist eine Menge von stetigen Funktionen von einem Raum auf [0
	falls es eine stetige Abbildung H: X × [0
	falls jedes Element von K auch ein Element von L ist. Verfeinerung: Eine Ãœberdeckung K ist eine Verfeinerung einer Ãœberdeckung L
	g: X -> Y sind homotop
	Eine offene Ãœberdeckung ist eine Ãœberdeckung {Ui}
	1] gibt mit der Eigenschaft
	so dass H(x
	1]
	in der jedes Ui eine offene Menge ist. Teilüberdeckung: Eine Überdeckung K ist eine Teilüberdeckung einer Überdeckung L
	0) = f(x) und H(x
	wo alle außer einer endlichen Anzahl gleich Null sind und die Summe aller in jedem Punkt 1. Homotope Abbildungen: Zwei stetige Abbildungen f
	1] -> Y gibt
	1) = g(x) für alle x aus X
	Die Funktion H wird eine Homotopie zwischen f und g genannt. [Bearbeiten]
Teil 2 -- Arten von topologischen Räumen
	ihrer gesamten Größe und ihres Zusammenhangs. [Bearbeiten]
	unter Berücksichtigung ihrer Kompaktheit
	Topologische Räume können klassifiziert werden unter Berücksichtigung des Grades
	in dem ihre Punkte getrennt sind
Trennungsaxiome
	Für eine detaillierte Behandlung
	siehe Trennungsaxiom
	falls es zu jedem Paar von unterschiedlichen Punkten in dem Raum eine offene Menge gibt
	Einige dieser Begriffe werden in älterer mathematischer Literatur anders definiert; siehe Geschichte der Trennungsaxiome. Kolmogoroff oder T0: Ein Raum ist T0
	die einen Punkt enthält
	jedoch nicht den anderen
	falls jede einelementige Teilmenge (engl. singleton) abgeschlossen ist
	Verschiedene Punkte haben also verschiedene Umgebungsfilter. T1: Ein Raum ist T1
	T1 Räume sind immer T0. Hausdorff oder T2: Ein Raum ist Hausdorff
	falls jedes Paar von unterschiedlichen Punkten disjunkte Umgebungen besitzt
	falls jede irreduzible abgeschlossene Menge (d.h. nicht echte Vereinigung abgeschlossener Teilmengen) Abschluß genau eines Punktes ist
	Hausdorff-Räume sind immer T1. Nüchtern (engl. sober)
	C und p disjunkte Umgebungen besitzen
	falls für alle abgeschlossenen Mengen C und Punkte p nicht in C
	Hausdorff-Räume sind nüchtern; nüchterne Räume sind T0. Regulär: Ein Raum ist regulär
	falls für alle abgeschlossenen Mengen C und Punkte p nicht in C
	C und {p} funktionell getrennt sind
	Reguläre T0 Räume sind immer Hausdorffsch. Tychonoff: Ein Hausdorff-Raum ist Tychonoff
	falls zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte offene Umgebungen haben
	Tychonoff Räume sind immer regulär. Normal: Ein Raum ist normal
	Normale Räume erlauben Zerlegungen der Eins
	Normale T1 Räume sind immer Tychonoffsch. [Bearbeiten]
Kompaktheit
	falls jede offene Ãœberdeckung eine offene
	lokal endliche Verfeinerung besitzt
	Parakompakt: Ein Raum ist parakompakt
	Parakompakte Hausdorff-Räume sind normal. Lindelöf: Ein Raum ist lindelöf
	falls jede offene Abdeckung eine abzählbare Unterabdeckung besitzt. Kompakt: Ein Raum ist kompakt
	falls jede offene Abdeckung eine endliche Unterabdeckung besitzt
	Kompakte Räume sind immer lindelöf und parakompakt
	falls jeder Punkt eine lokale Basis bestehend aus kompakten Umgebungen hat
	Kompakte Hausdorff-Räume sind somit normal. Lokal kompakt: Ein Raum ist lokal kompakt
	Lokal kompakte Hausdorff-Räume sind immer Tychonoff. [Bearbeiten]
Größe
	falls jeder Punkt eine abzählbare lokale Basis hat. Zweit-abzählbar: Ein Raum ist zweit-abzählbar
	Separabel: Ein Raum ist separabel
	falls er eine abzählbare dichte Teilmenge hat. Erst-abzählbar: Ein Raum ist erst-abzählbar
	falls er eine abzählbare Basis als Topologie besitzt
	Zweit-abzählbare Räume sind immer = separabel
	erst-abzählbar und lindelöfsch. [Bearbeiten]
Zusammenhang
	und p(1) = y
	falls er nicht die Vereinigung von zwei disjunkten
	y aus X einen Weg p von x nach y gibt
	d.h. eine stetige Abbildung p : [0
	1] -> X mit p(0) = x
	nicht-leeren offenen Mengen ist. Lokal zusammenhängend: Ein Raum ist lokal zusammenhängend
	falls es für jedes Paar von Punkten x
	Für eine detaillierte Behandlung und Beispiele siehe Zusammenhang (Topologie). Zusammenhängend: Ein Raum X ist zusammenhängend
	falls jeder Punkt eine lokale Basis bestehend aus zusammenhängenden Mengen besitzt. Total unzusammenhängend: Ein Raum ist total unzusammenhängend
	falls er keine zusammenhängende Teilmenge mit mehr als einem Punkt besitzt. Wegzusammenhängend: Ein Raum X ist wegzusammenhängend (oder pfad-zusammenhängend)
	Wegzusammenhängende Räume sind immer zusammenhängend. Lokal wegzusammenhängend: Ein Raum ist lokal wegzusammenhängend
	falls jeder Punkt eine lokale Basis bestehend aus wegzusammenhängenden Mengen besitzt
	Ein lokal wegzusammenhängender Raum ist zusammenhängend genau dann
	falls er wegzusammenhängend ist und jede stetige Abbildung f : S1 -> X homotop zu einer konstanten Abbildung ist (dabei ist S1 der Einheitskreis im R2)
	wenn er wegzusammenhängend ist. Einfach zusammenhängend: Ein Raum X ist einfach zusammenhängend
	daher nur semilokal). Zusammenziehbar: Ein Raum X ist zusammenziehbar
	falls die Identitätsabbildung auf X homotop zu einer konstanten Abbildung ist
	Einfacher ausgedrückt: X besitzt keine "Löcher". Semilokal einfach zusammenhängend: Ein Raum X ist semilokal einfach zusammenhängend
	so dass sich jede Schleife in U in X zusammenziehen lässt (in U muss sie nicht notwendigerweise zusammenziehbar sein
	falls jeder Punkt eine Umgebung U besitzt
	Zusammenziehbare Räume sind immer einfach zusammenhängend. [Bearbeiten]
Verschiedenes
	Metrisierbar: Ein Raum ist metrisierbar
	falls er homöomorph zu einem metrischen Raum ist
	so dass f(x) = y
	falls jeder Punkt eine metrisierbare Umgebung besitzt. Homogen: Ein Raum X ist homogen
	falls es für alle x und y aus X einen Homöomorphismus f : X -> X gibt
	Metrisierbare Räume sind immer Hausdorff und parakompakt (und daher normal und Tychonoff) und erst-abzählbar. Lokal metrisierbar: Ein Raum ist lokal metrisierbar
	Anschaulich gesagt bedeutet dies
	dass der Raum an jedem Punkt gleich aussieht
	Alle topologischen Gruppen sind homogen. en:topology glossary es:Glosario de topología fr:Glossaire topologique ru:Словарь терминов общей топологии

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