Students t-Verteilung

Stichpunkte

Allgemein
	Students t-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und wurde 1908 von William Sealey Gosset (Pseudonym Student) entwickelt
	Er hatte festgestellt
	wenn die Varianz des Merkmals unbekannt ist und mit der Stichprobenvarianz geschätzt werden muss
	dass standardisierte normalverteilte Daten nicht mehr normalverteilt sind
	Man könnte also die t-Verteilung gewissermaßen als "Designerverteilung" bezeichnen. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Definition 2 Parameter 3 Skizze 4 Nichtzentrale t-Verteilung 5 Näherung durch die Normalverteilung [Bearbeiten]
Definition
	Die t-Verteilung beschreibt die Verteilung eines Ausdruckes <math>mathrm{ t_m=frac{N(0
	1)}{sqrt{frac{chi_m^2}{m}}} }<math> wobei N(0
	1) eine standardnormalverteilte Zufallsvariable bedeutet und <math>mathrm{chi_m^2}<math> eine χ²-verteilte mit m Freiheitsgraden
	Die Zählervariable muss unabhängig von der Nennervariable sein
	Die Dichtefunktion der t-Verteilung ist dann symmetrisch bezüglich ihres Erwartungswertes 0
	Die Werte der Verteilungsfunktion können nicht analytisch berechnet werden und liegen in der Regel tabelliert vor
	Beispielsweise ist die Prüfgröße für den statistischen Test H0: μ = μ0 des Erwartungswertes einer normalverteilten Zufallsvariablen mit unbekannter Varianz <math> t= sqrt{n} frac { bar X_n - mu_0 } {S_n} = sqrt{n} frac { bar X_n - mu_0}{sqrt{frac{1}{n-1}sum_{i=1}^n (x_i-bar X_n)^2}} <math> t-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden. <math> S_n <math> ist der Schätzer für die Standardabweichung und <math> bar X_n <math> ist der Stichprobenmittelwert. [Bearbeiten]
Parameter
	Median <math>mathrm{tilde{x}=0}<math> Modus <math>mathrm{x_{mod}=0}<math> Erwartungswert: <math>mathrm{ E(t_m)=left{ {{emptyset|m=leq1}atop {0|mgeq2} } right. }<math> Varianz: <math>mathrm{ sigma^2(t_m)=left{ { {emptyset|m=leq2}atop {frac{m}{m-2}|mgeq3} } right. }<math> Schiefe: <math>mathrm{ v(t_m)=left{ { {emptyset|m=leq3}atop {0|mgeq4} } right. }<math> Wölbung: <math>mathrm{ beta_2(t_m)=left{ { {emptyset|m=leq4}atop {frac{6}{m-4}|mgeq5} } right. }<math> [Bearbeiten]
Skizze
	dass für f ein positiver Wert für die Freiheitsgrade eingesetzt werden muss x die Stellen auf der x-Achse bezeichnet
	Bild nicht gefunden Dichten von t-verteilten Zufallsgrößen Eine Skizze der t-Verteilung erhalten man in GNU R mit dem Befehl plot(x
	df=f)) Zu beachten ist
	für welche die Dichte gezeichnet werden soll (z
	dt(x
	3
	B. mit x<-seq(-2
	length=1000)) [Bearbeiten]
Nichtzentrale t-Verteilung
	handelt es sich um eine so genannte nichtzentrale t-Verteilung mit dem Nichtzentralitätsparameter μ
	Ist der Zähler der t-verteilten Zufallsvariablen normalverteilt mit einem Erwartungswert μ ≠ 0
	Diese Verteilung wird vor allem zur Bestimmung des β-Fehlers bei Hypothesentests mit t-verteilter Prüfgröße verwendet. [Bearbeiten]
Näherung durch die Normalverteilung
	Ab dreißig Freiheitsgraden kann anstelle der t-Verteilung näherungsweise die Standardnormalverteilung verwendet werden. en:Student's t-distribution it:Variabile casuale t di Student

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