Surjektivität

Stichpunkte

Allgemein
	Surjektivität (surjektiv) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion in Bezug auf eine vorgegebene Wertemenge. Sie bedeutet
	d.h. jedes Element der Wertemenge hat mindestens ein Urbild
	dass jedes Element der Wertemenge durch die Funktion getroffen wird
	Eine surjektive Funktion ist also (als Relation gesehen) rechtstotal
	und
	sofern sie auf ihrem Urbild vollständig definiert ist
	auch linkstotal. [Bearbeiten]
Definition
	wenn für alle <math>y in Y<math> mindestens ein <math>x in X<math> mit <math>f(x) = y<math> existiert
	sowie <math>f<math> eine Abbildung von <math>X<math> nach <math>Y<math>. <math>f<math> heißt surjektiv (auf <math>Y<math>) genau dann
	also alle Elemente der Zielmenge getroffen werden
	Seien <math>X<math> und <math>Y<math> Mengen
	Formal: <math>forall y in Y exists x in X | f(x)=y<math> Beispiele in unterschiedlicher Darstellungsform Mengenkastendarstellung. Mengenkastendarstellung. Mengenkastendarstellung. Mengenwolkendarstellung.     [Bearbeiten]
Beispiele und Gegenbeispiele
	Die Funktion f: R → R mit <math>f(x)=2x+1<math> ist surjektiv
	denn für jede reelle Zahl y gibt es (mindestens) ein Urbild: Man löse die Gleichung <math>y=2x+1<math> nach x auf und erhält <math>x=(y-1)/2<math>. Dieses Berechnen von x reicht aber im allgemeinen nicht als Beweis
	Man muss die Probe machen: In der Tat ist <math>f((y-1)/2) = 2(y-1)/2+1 = y<math>. Die Sinus-Funktion sin: R → [-1
	1] ist surjektiv
	Jede horizontale Gerade y = y0 mit -1 ≤ y0 ≤ 1 hat unendlich viele Schnittpunkte mit dem Graph der Funktion
	dass die Eigenschaft "surjektiv" nicht Eigenschaft des Funktionsgraphen <math>{ (x
	sondern eine Relation
	y): f(x)=y }<math> ist
	Die Sinus-Funktion sin: R → R ist jedoch nicht surjektiv
	da z.B. die Gerade y = 2 keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat. Man beachte
	die die Beziehung zwischen dem Funktionsgraphen und der vorgegebenen Wertemenge beschreibt. (Siehe dazu auch injektiv.) [Bearbeiten]
Vergleich
	Bijektivität bg:СюрекциÑ? en:Surjection es:Función sobreyectiva fr:Surjection ja:全射 pl:Funkcja na ru:СюръективноÑ?Ñ‚ÑŒ sv:Surjektiv uk:CÑŽÑ€'єкціÑ?
	Injektivität

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