Supremum

Stichpunkte

Allgemein
	nach oben / unten beschränkt bei der Betrachtung von Teilmengen der reellen Zahlen auf. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	obere / untere Schranke
	In der Mathematik treten die Begriffe Supremum
	Infimum
	"Verbergen") 1 Definitionen 2 Eigenschaften 3 Existenz des Supremums 4 Verallgemeinerung [Bearbeiten]
Definitionen
	in Zeichen max(T). Ist T nach unten beschränkt und liegt das Infimum von T in T
	dass x ≤ b. Eine reelle Zahl b heißt untere Schranke von T
	dann existiert eine größte untere Schranke (Beweis analog)
	dann heißt T nach unten beschränkt. Ist T nach oben und nach unten beschränkt
	dann heißt T beschränkt. Ist T nach oben beschränkt
	man nennt sie obere Grenze oder Supremum von T
	dass b ≤ x. Existiert eine obere Schranke von T
	dann bezeichnet man es auch als Minimum von T
	wenn für alle x in T gilt
	Sei T eine Menge reeller Zahlen. Eine reelle Zahl b heißt obere Schranke von T
	dann bezeichnet man es auch als Maximum von T
	in Zeichen inf(T). Ist T nach oben beschränkt und liegt das Supremum von T in T
	man nennt sie untere Grenze oder Infimum von T
	dann heißt T nach oben beschränkt. Existiert eine untere Schranke von T
	in Zeichen sup(T). Ist T nach unten beschränkt
	in Zeichen min(T). [Bearbeiten]
	dann existiert eine kleinste obere Schranke (Beweisidee unten)
	wenn für alle x in T gilt
Eigenschaften
	Ist b eine obere Schranke von T und c > b
	dann ist auch c eine obere Schranke von T
	Ist umgekehrt c keine obere Schranke von T und b < c
	dann ist auch b keine obere Schranke von T
	Analoges gilt für untere Schranken
	wenn es eine reelle Zahl R gibt
	so dass |x| < R für alle x aus T gilt
	Die Menge T ist genau dann beschränkt
	T liegt in der offenen Kugel um 0 mit Radius R
	Man sagt dann
	Eine ähnliche Definition der Beschränktheit einer Menge gibt es in einem metrischen Raum. [Bearbeiten]
Existenz des Supremums
	die das Supremum einschließt
	Man konstruiert eine Intervallschachtelung
	Dazu konstruiert man zwei Folgen
	ob sie eine obere Schranke ist oder nicht)
	von denen die erste (an) monoton wachsend ist und nicht aus oberen Schranken von M besteht
	die zweite (bn) monoton fallend ist und aus oberen Schranken von M besteht
	dass die Abstände entsprechender Folgeglieder gegen 0 gehen (indem man jeweils die Intervallmitte betrachtet und entscheidet
	so dass noch gilt
	denn: Jedes Element von M ist kleinergleich jedem Element bn der oberen Folge
	Damit erhält man den gemeinsamen Grenzwert sup(M) der beiden Folgen als kleinste obere Schranke von M
	also kleinergleich sup(M)
	deshalb ist sup(M) eine obere Schranke
	die kleiner ist als sup(M)
	ist kleiner als ein Element an0 der unteren Folge
	also keine obere Schranke. [Bearbeiten]
	Jede reelle Zahl
Verallgemeinerung
	Man kann die hier beschriebenen Begriffe für eine beliebige partiell geordnete Menge definieren
	Ein wesentlicher Unterschied ist dann aber
	dass im Allgemeinen nicht jede nach oben beschränkte Menge ein Supremum hat: Die Menge <math>mathbb{Q}<math> der rationalen Zahlen ist bezüglich der natürlichen Ordnung total geordnet
	Die Menge <math>{xinmathbb{Q}:x^2

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