Stetig behebbare Definitionslücke

Stichpunkte

Allgemein
	die aus der Division einer Funktion durch eine Zweite entstehen
	Die stetig behebbare Definitionslücke tritt unter anderem bei Funktionen der Mathematik auf
	Formal geschrieben sei <math> f(x) = frac{u(x)}{v(x)}. <math> Prinzipiell können sowohl u(x) als auch v(x) den Wert Null annehmen
	Man hat dann folgende Situationen: eine Nullstelle
	wenn <math> u(x) = v(x) = 0 <math>. Eine Definitionslücke kann
	wenn <math> u(x) ne 0 <math> und <math> v(x) = 0 <math>; eine Definitionslücke
	eine Polstelle oder aber stetig ergänzbar (oder behebbar) sein
	wenn <math> u(x) = 0 <math> und <math> v(x) ne 0 <math>; eine Polstelle oder auch Unendlichkeitsstelle
	je nach dem Verhalten der Zähler- und Nennerfunktion
	"Verbergen") 1 Spezialfall rationaler Funktionen 1.1 Beispiel 2 Differenzierbare Funktionen (Regel von l'Hospital) 2.1 Beispiel 3 Allgemeine Funktionen [Bearbeiten]
	Beachte
	also weder unstetig noch stetig ist! (Es ist also z.B. f(x) = 1/x in seinem gesamten Definitionsbereich R{0} stetig
	dass f an den Stellen
	unten beschriebenen Bedingungen kann man f jedoch stetig fortsetzen. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	wo der Nenner gleich 0 ist
	nicht definiert ist
	hat aber in der 0 eine Definitionslücke.) Unter bestimmten
Spezialfall rationaler Funktionen
	<math> wobei u(x) und v(x) Polynomfunktionen sind
	Rationale Funktionen der Mathematik haben die Form <math> f(x) = frac{u(x)}{v(x)}
	ist ihr Verhalten an ihren Nullstellen aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra bekannt: die Nullstellen der Zähler- und Nennerfunktionen lassen sich ausfaktorisieren
	Da u(x) und v(x) Polynome sind
	Wenn also u(x) und v(x) an der Stelle xo eine Nullstelle haben
	so ist immer <math> u(x) = ( x - x_o )^{N_u} ; s(x) <math> und <math> v(x) = ( x - x_o )^{N_v} ; t(x) <math> wobei <math> s(x_o) ne 0 and t(x_o) ne 0. <math> Die Terme <math> N_u <math> und <math> N_v <math> bezeichnet man auch als die Ordnung der jeweiligen Nullstelle
	Offensichtlich kann man die gemeinsamen Faktoren der Nullstellen kürzen. Wenn <math> N_u > N_v > 0 <math>
	dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor
	dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor
	wobei der Grenzwert durch 0 gegeben ist. Wenn <math> N_u = N_v > 0 <math>
	wobei der Grenzwert durch &lt;math&gt; s(x_o) / t(x_o) &lt;math&gt; gegeben ist. Wenn &lt;math&gt; N_u < N_v &lt;math&gt;
	dann liegt eine Polstelle vor. [Bearbeiten]
Beispiel
	die sich durch Kürzen mit dem Wert -1/2 beheben lässt. [Bearbeiten]
	Die Funktion &lt;math&gt; f(x) = frac{x^3+4x^4+5x+2}{x^3+x^2-x-1} = frac{(x+1)^2(x+2)}{(x+1)^2(x-1)} = frac{x+2}{x-1}&lt;math&gt; hat für x = -1 eine Lücke
Differenzierbare Funktionen (Regel von l'Hospital)
	gilt die folgende Regel von L'Hospital: &lt;math&gt; lim_{xto x_o} frac{u(x)}{v(x)} = left. frac{u'(x)}{v'(x)} right|_{x=x_o} &lt;math&gt; [Bearbeiten]
	Wenn sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion an der gemeinsamen Nullstelle differenzierbar sind
Beispiel
	Die Funktion &lt;math&gt; f(x) = frac{sin(x)}{x} &lt;math&gt; ist für &lt;math&gt;x&lt;math&gt; = 0 nicht definiert
	Anwendung der l'Hospital-Formel (Differenzierung des Sinus ergibt den Kosinus) ergibt &lt;math&gt; lim_{x to 0} f(x) = lim_{x to 0} frac{sin(x)}{x} = lim_{x to 0} frac{cos(x)}{1} = lim_{x to 0} cos(x) = cos(0) = 1 &lt;math&gt;
	Die Lücke kann also durch den Wert 1 behoben werden. [Bearbeiten]
Allgemeine Funktionen
	Aussagen zu allgemeinen Funktionen sind nicht möglich
	und sind individuell zu untersuchen
	Unstetige Funktionen können ein beliebiges Verhalten zeigen
	Es kann beispielsweise vorkommen
	dass eine Definitionslücke zwei unterschiedliche (einen linksseitigen und einen rechtsseitigen) Grenzwerte besitzt
	obwohl keine Polstelle vorliegt.
	und die Definitionslücke ist nicht stetig behebbar
	In diesem Fall hat die Funktion eine Sprungstelle

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