Schrödingergleichung

Stichpunkte

Allgemein
	Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichung der nichtrelativistischen Quantenmechanik
	Sie beschreibt als Wellengleichung die zeitliche Entwicklung des Zustands eines unbeobachteten Quantensystems
	Die Schrödingergleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger gefunden
	Ihr Status für die Quantenmechanik ist dem des zweiten Newtonschen Gesetzes für die klassische Mechanik vergleichbar
	t)+V(mathbf{r}
	dessen Zustand durch die Wellenfunktion ψ beschrieben ist: <math>mathrm{i}hbarfrac{partial}{partial t}psi(mathbf{r}
	t)<math> durch Ersetzung von Energie und Impuls durch die Operatoren <math>E rightarrow mathrm{i}hbar frac{partial}{partial t}<math> <math>mathrm{p}rightarrow -mathrm{i}hbarnabla<math> und anschließendes Anwenden auf <math>psi(mathbf{r}
	t)<math>
	t)psi(mathbf{r}
	t)<math> Man erhält diese Gleichung aus der klassischen Energiegleichung <math>E = frac{mathbf{p}^2}{2m}+V(mathbf{r}
	t)= - frac{hbar^2}{2m}nabla^2psi(mathbf{r}
	Die Schrödingergleichung lautet für ein einzelnes Teilchen (etwa ein Elementarteilchen oder ein Atom) im Potential V
	und bezeichnet ihn mit H
	Den Operator auf der linken Seite der Schrödingergleichung nennt man auch Hamilton-Operator
	t) = H psi(mathbf{r}
	Mit diesem lautet die Schrödingergleichung einfach <math>mathrm{i}hbar frac{partial}{partial t} psi(mathbf{r}
	t)<math> Durch Separation der Variablen <math>psi(mathbf{r}
	t) = psi(mathbf{r})e^{-frac{i}{hbar} E t}<math> kann für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren (also insbesondere zeitunabhängige Potentiale) die so genannte zeitunabhängige Schrödingergleichung <math>H psi(mathrm{r}) = E psi(mathrm{r})<math> ermittelt werden
	Sie kann nicht hergeleitet und nicht bewiesen werden
	als eine Gleichung bei der der (Hamilton)-Operator auf eine Wellenfunktion einwirkt und wieder ein Vielfaches (=Eigenwert der Differentialgleichung
	der hier der Energie entspricht) der Wellenfunktion ergibt
	sondern wird nur "geraten"
	Entsprechend nennt man die volle Schrödingergleichung auch die zeitabhängige Schrödingergleichung
	Schrödingergleichungen lassen sich allerdings nur für einige einfache Potentiale exakt lösen: das Teilchen im Kasten das Teilchen im kugelsymmetrischen Potential die Potentialbarriere (ergibt Tunneleffekt) das harmonische Potential das Wasserstoffatom (Coulomb-Potential) Schon beim H2+ Ion ist eine exakte Lösung nicht mehr möglich
	Daher müssen Schrödingergleichungen vereinfacht werden
	Eine der möglichen Vereinfachung ist die Born-Oppenheimer-Approximation
	Auch die Anwendung der Störungstheorie kann gute Näherungen liefern. [Bearbeiten]
Eine einfache Herleitung der eindimensionalen Schrödingergleichung
	Erwin Schrödinger nahm 1926 gestützt auf die Untersuchungen de-Broglies an
	dass alle Quantenobjekte „Wellennatur“ haben
	z
	y
	t)<math> (Psi-Funktion) eindeutig beschreiben können
	Mathematisch müsste man sie demnach durch eine Wellenfunktion <math>Psi(x
	Deren Verhalten und ihre Eigenschaften werden wiederum durch die allgemeine Wellengleichung beschrieben
	wie sie schon von Maxwell für elektromagnetische Wellen hergeleitet wurde (hier der eindimensionale Fall): <math> frac{partial^2 Psi}{partial x^2} = frac {1}{u^2}cdot frac{partial^2 Psi}{partial t^2} quad (i) <math> u ist dabei die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle (u=c im elektromagnetischen Fall)
	Die folgende Ableitung bringt u nun mit den physikalischen Eigenschaften (Masse m
	Impuls p) des Quantenteilchens in Verbindung
	Wie in der Maxwelltheorie gilt: <math>u=f cdot lambda_B<math> <math>lambda_B<math> ist die de-Broglie-Wellenlänge und f die Frequenz von <math>Psi<math>
	Für erstere gilt: <math>lambda_B = h/p<math>
	Somit ist <math> frac {1}{u^2}=frac {p^2}{f^2 h^2} quad (ii) <math> Der Impuls p des Teilchens lässt sich durch die Gesamtenergie E und die potentielle Energie V ausdrücken: <math> left. begin{matrix} { E_{kin}=frac{m v^2}{2}= frac{p^2}{2m} }\ { E_{kin}= E - V } end{matrix} right} Rightarrow p^2 = 2m cdot (E-V) quad (iii) rightarrow (ii) rightarrow (i): <math> <math> frac{partial^2 Psi}{partial x^2} = frac {2m cdot (E-V)}{f^2 h^2}cdot frac{partial^2 Psi}{partial t^2} <math> Dies ist die allgemeine Schrödingergleichung (eindim.). Ist ein System zeitlich nicht veränderlich (Elektron im Kasten
	so kann man die Gleichung stark vereinfachen
	Wasserstoffatom...)
	Dies gelingt mittels des sog
	y
	Separationsansatzes (Separation der Zeit): <math>Psi(x
	t)=psi(x
	z
	y
	z) cdot e^{i omega t}<math> <math>psi<math> (kleines Psi) ist nur ortsabhängig
	Der Ansatz wird in die allgemeine SGL eingesetzt und ergibt (wieder eindimensional): <math> e^{i omega t} frac{partial^2 psi}{partial x^2} = frac {2m cdot (E-V)}{f^2 h^2}psi cdot frac{partial^2}{partial t^2} e^{i omega t} quad mbox{und mit} quad frac{partial^2}{partial t^2} e^{i omega t} = -omega^2 e^{i omega t} Rightarrow <math> <math> psi''=-omega^2 frac {2m cdot (E-V)}{f^2 h^2}psi quad mbox{wobei} quad omega = 2 pi f Rightarrow <math> <math> psi''=-frac {2m}{hbar^2}cdot (E-V)psi <math> Das ist die zeitunabhängige oder stationäre Schrödingergleichung (eindim.). Sie ist eine DGL 2
	Ordnung und kann auf viele quantenmechanische Probleme angewendet werden. [Bearbeiten]
Siehe auch
	Kugelflächenfunktionen Legendre-Polynome Nabla-Operator Laplace-Operator en:Schrödinger equation es:Ecuación de Schrödinger fi:Schrödingerin yhtälö fr:Équation de Schrödinger he:משוו×?ת שרדינגר it:Equazione di Schrödinger ja:シュレーディンガー方程å¼? ko:슈뢰딩거 ë°©ì •ì‹? nl:Schrödingervergelijking no:Schrödingerlikningen pl:Równanie Schrödingera pt:Equação de Schrödinger sl:Schrödingerjeva enaÄ?ba sv:Schrödingerekvationen zh:薛定谔方程

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