Runge-Kutta-Verfahren

Stichpunkte

Allgemein
	"Verbergen") 1 Allgemeines 2 Beispiele 3 Literatur 4 Weblinks [Bearbeiten]
	Die <math>s<math>-stufigen Runge-Kutta-Verfahren (nach Carl Runge und Martin Wilhelm Kutta) sind Einschrittverfahren zur näherungsweisen Lösung von Anfangswert-Problemen in der Mathematik. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
Allgemeines
	ist oft das populäre klassische Runge-Kutta-Verfahren gemeint
	Wenn vom Runge-Kutta-Verfahren gesprochen wird
	quad y(0) = y_0 quad
	quad y colon R to R^n colon x mapsto y(x) <math> mit exakter Lösung <math>y(x)<math>
	Dieses bildet jedoch nur einen Spezialfall dieser Familie von Verfahren. Gegeben sei ein Anfangswert-Problem <math> y'(x) = f(x
	y) quad
	Die exakte Lösung kann im allgemeinen nicht angegeben werden
	weshalb man sich mit einer Näherung <math>eta_i<math> an diskreten Stellen <math>x_i<math> begnügt
	z.B
	Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung dieser Näherung
	\ k_j &=& f(x_i + h c_j
	eta_i + h sum_{l=1}^s a_{jl} k_l) quad . end{matrix} <math> Die Anzahl der Stufen <math>s<math> gibt an
	Einschrittverfahren oder Mehrschrittverfahren. Die <math>s<math>-stufigen Runge-Kutta-Verfahren sind Einschrittverfahren der Art: <math> begin{matrix} eta_{i+1} &=& eta_i + h sum_{j=1}^s b_j k_j quad
	wie viele Funktionsaufrufe pro Schritt (mit Schrittweite <math>h<math>) benötigt werden
	<math>a_{jl}<math> übersichtlich im sog
	Im allgemeinen ist die Rekursionsformel des Runge-Kutta-Verfahrens implizit; Für <math>a_{jl}=0 ; forall l ge j<math> ist das Verfahren explizit. Man kann die charakteristischen Koeffizienten <math>c_j<math>
	<math>b_j<math>
	Runge-Kutta-Tableau (auch engl
	quad c = begin{bmatrix} c_1 \ vdots \ c_j \ vdots \ c_s end{bmatrix} quad
	die auf dem Begriff des lokalen Diskretisierungsfehlers <math>tau<math> beruht
	Butcher array genannt) anordnen: <math> begin{matrix} c &|& A \ -&-&- \ &|& b^top end{matrix} quad
	quad A = begin{bmatrix} a_{11} & dots & a_{1l} & dots & a_{1s}\ vdots & ddots & vdots & ddots & vdots\ a_{j1} & dots & a_{jl} & dots & a_{js}\ vdots & ddots & vdots & ddots & vdots\ a_{s1} & dots & a_{sl} & dots & a_{ss}\ end{bmatrix} quad . <math> Eine wichtige Eigenschaft zum Vergleich von Verfahren ist die Konsistenzordnung
	quad b = begin{bmatrix} b_1 \ vdots \ b_j \ vdots \ b_s end{bmatrix} quad
	sind Runge-Kutta-Verfahren mit möglichst hoher Ordnung <math>p<math> bei möglichst wenigen Funktionsauswertungen <math>s<math> von Interesse. Aus der Konsistenzbedingung (z.B. das Verfahren soll Ordnung 4 haben) ergeben sich Konsistenzgleichungen (engl. oder conditions) für die Koeffizienten des Runge-Kutta-Verfahrens
	Ein Einschrittverfahren heißt konsistent von der Ordnung <math>p<math> (hat Konsistenzordnung <math>p<math>)
	falls gilt: <math> tau le mathcal{O}(h^p) quad . <math> Die Konsistenzordnung kann durch Taylorentwicklung von <math>tau<math> bestimmt werden. Weil ein konsistentes Verfahren auch konvergent ist (globaler Diskretisierungsfehler erreicht im Grenzwert kleiner Schrittweiten Null)
	Die Anzahl und die Gleichungen selbst können mit Hilfe der Theorie der Butcher-Bäume ermittelt werden
	Mit zunehmender Ordnung wächst die Zahl der zu lösender (i.A. nicht-linearen) Konsistenzgleichung schnell an
	Das Aufstellen der Konsistenzgleichungen ist bereits nicht einfach; Das Lösen ist dann noch schwieriger. [Bearbeiten]
Beispiele
	Das explizite Euler-Verfahren (Ordnung 1): <math> begin{matrix} 0 &|& & \ &|& & \ - &-&- &- \ &|&1 & end{matrix} quad . <math> Das Heun-Verfahren (Ordnung 2): <math> begin{matrix} 0 &|& & \ 1 &|& 1 & \ - &-&- &- \ &|&frac{1}{2} &frac{1}{2} end{matrix} quad . <math> Das Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 2: <math> begin{matrix} 0 &|& & \ frac{1}{2} &|& frac{1}{2} & \ - &-&- &- \ &|&0 &1 end{matrix} quad . <math> Das Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 3 (vgl
	Simpsonregel): <math> begin{matrix} 0 &|& & & \ frac{1}{2} &|& frac{1}{2} & & \ 1&|& -1 & 2 & \ - &-&- &- &-\ &|&frac{1}{6} & frac{4}{6} & frac{1}{6} end{matrix} quad . <math> Das Heun-Verfahren 3
	Ordnung: <math> begin{matrix} 0 &|& & & \ frac{1}{3} &|& frac{1}{3} & & \ frac{2}{3}&|& 0 & frac{2}{3} & \ - &-&- &- &-\ &|&frac{1}{4} & 0 & frac{3}{4} end{matrix} quad . <math> Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (Ordnung 4): <math> begin{matrix} 0 &|& & & &\ frac{1}{2} &|& frac{1}{2} & & &\ frac{1}{2}&|& 0 & frac{1}{2} & & \ 1&|& 0 & 0 & 1 & \ - &-&- &- &- &-\ &|&frac{1}{6} & frac{1}{3} & frac{1}{3} & frac{1}{6} end{matrix} quad . <math> [Bearbeiten]
Literatur
	J
	CB
	1987. EF
	utcher: The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations: Runge-Kutta and General Linear Methods
	ehlberg: Klassische Runge-Kutta Formeln 5. und 7O
	rdnung mit Schrittweitenkontrolle. Lambert Numerical Methods for Ordinary Differential Systems
	1994. MH
	1991. Sofroniou Symbolic Derivation of Runge-Kutta Methods
	The Initial Value Problem
	ISBN: 3-486-27606-9 [Bearbeiten]
	München und Wien
	Oldenbourg Verlag
	ermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen
	Anfangs- und Randwertprobleme
	2004
Weblinks
	http://www.learn-line.nrw.de/angebote/modell/runge.htm en:Runge-Kutta methods

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