Quanteninformation

Stichpunkte

Allgemein
	die nicht mit den Gesetzen der klassischen Informationstheorie beschrieben werden kann. Die Theorie der Quanteninformation liefert die Grundlage für Quantencomputer und Quantenkryptographie
	Unter Quanteninformation versteht man die in quantenmechanischen Systemen vorhandene Information
	mit ihrer Hilfe die Quantenmechanik besser zu verstehen. [Bearbeiten]
	Außerdem besteht die Hoffnung
Grundlagen
	sie wurde von Albert Einstein spukhafte Fernwirkung genannt
	Quantenmechanische Systeme haben einige Eigenschaften
	die sie grundlegend von klassischen Systemen unterscheiden. Verschränkung: Die Verschränkung ist der interessanteste Aspekt der Quanteninformation
	sondern nur das aus beiden Systemen zusammengesetzte Gesamtsystem
	dass keines der Systeme für sich genommen einen definierten Zustand hat
	Für zwei verschränkte Systeme gilt
	Dies gilt auch dann
	wenn die beiden Teilsysteme nicht (mehr) miteinander wechselwirken und Lichtjahre weit voneinander entfernt sind
	oder kurz |1a
	dann ist das kombinierte System im Zustand |System 1 in Zustand 1a und System 2 in Zustand 2a>
	2a>
	Verschränkte Zustände sind die Grundlage des EPR-Paradoxons. Die Verschränkung von Zuständen ist letztlich eine Folge der Anwendung des Superpositionsprinzips auf zusammengesetzte Systeme: Wenn das System 1 im Zustand |Zustand 1a> und das System 2 im Zustand |Zustand 2a> ist
	Im Formalismus der Quantenmechanik ist dies ein Produkt der beiden Zustände (nämlich das Tensorprodukt)
	Analog kann das Gesamtsystem auch im Zustand |1b
	2b> sein
	Das Superpositionsprinzip fordert nun aber
	dass das auch a|1a
	2a>+b|1b
	2b> ein Zustand des Systems ist
	kann man den Einzelsystemen keinen eigenständigen Zustand mehr zuschreiben. Komplementarität: Für ein Quantensystem sind niemals die Werte aller Observablen gleichzeitig definiert
	Da dieser sich (für a und b ungleich 0) jedoch nicht als Produkt schreiben lässt
	Ist der Wert einer Observablen exakt definiert
	so ist der Wert anderer Observablen völlig unbestimmt
	Misst man diese Observable
	so ist das Ergebnis rein zufällig
	Solche Observablen nennt man komplementär
	Zusätzlich gibt es noch Observablen
	so wird der Wert der vorherigen Observable entsprechend unbestimmt. Eine wichtige Folge davon ist
	dass wir durch Messung eines einzelnen Quantensystems unmöglich den exakten Zustand herausfinden können
	deren Wert zwar auch nicht festgelegt ist
	bei denen jedoch abhängig vom Wert der ersten Observablen die verschiedenen Werte unterschiedlich wahrscheinlich sind. Wird eine solche Observable gemessen
	in dem es sich vor der Messung befunden hat. Beispiel: Für ein Spin-1/2-System kann eine Spinkomponente in beliebiger Raumrichtung gemessen werden
	Die möglichen Werte sind stets entweder <math>+hbar/2<math> ("Spin up") oder <math>-hbar/2<math> ("Spin down"). Für das Spin-1/2-System sind die Spin-Komponenten in x-
	y- und z-Richtung zueinander komplementär
	Kennt man den z.B
	beide Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Misst man hingegen z.B. in einem Winkel von 60° zur z-Richtung
	der Spin in der komplementären z-Richtung wird aber durch die Messung unbestimmt
	und mit Wahrscheinlichkeit 1/4 den anderen Wert. Misst man bei bekanntem Spin in z-Richtung den Spin in x-Richtung
	Spin in z-Richtung
	den das System vor der Messung in z-Richtung hatte
	so erhält man mit Wahrscheinlichkeit 3/4 denselben Wert
	so kann man keinerlei Voraussage über den Spin in x-Richtung machen
	so ist danach der Spin in x-Richtung bekannt
	Eine erneute Messung des Spins in z-Richtung wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit beide Werte liefern; der vorherige Wert in z-Richtung ist "gelöscht". Von zwei Observablen
	sie vertauschen bzw. kommutieren
	deren Werte gleichzeitig definiert sein können (also das Gegenteil von komplementären Observablen) sagt man
	nennt man Eigenzustände der Observablen
	in der man sie misst
	dass für diese
	egal ist
	man also die zugehörigen Messungen vertauschen kann. Zustände
	man kann es aber auch auf die Tatsache beziehen
	der sich als |neuer Zustand> = a|Zustand 1> + b|Zustand 2> schreiben lässt
	so gibt es einen weiteren möglichen Zustand des Systems
	und den zugehörigen Wert der Observablen Eigenwert. Superpositionsprinzip: Sind |Zustand 1> und |Zustand 2> zwei mögliche Zustände eines quantenmechanischen Systems
	die Reihenfolge
	in denen der Wert einer Observablen eindeutig festgelegt ist
	und nur für diese
	und sind a und b zwei komplexe Zahlen mit |a|²+|b|²=1
	Das bezieht sich zwar eigentlich auf eine Eigenschaft der mathematischen Objekte (Operatoren)
	mit denen sie in der Quantenmechanik beschrieben werden
	so ist im Zustand |neuer Zustand> die Wahrscheinlichkeit
	amsonsten gehört zu jedem Paar von a und b ein anderer Zustand. Falls |Zustand 1> und |Zustand 2> verschiedene Eigenzustände einer Observablen mit unterschiedlichem Eigenwerten w1 und w2 sind (solche Zustände nennt man orthogonal)
	gerade |a|²
	wobei n die Richtung angibt. Unitäre Zeitentwicklung: Solange nicht gemessen wird
	und die Wahrscheinlichkeit
	den Wert w2 zu erhalten
	bei Messung der Observablen den Wert w1 zu erhalten
	|b|². Beispiel: Für ein Spin-1/2-System ergeben die Superpositionen der Zustände |Spin up in z-Richtung> und |Spin down in z-Richtung> gerade alle Zustände der Form |Spin up in Richtung n> und |Spin down in Richtung n>
	Hierbei führt ein gemeinsamer Faktor bei a und b zum selben Zustand
	gehen zueinander orthogonale Zustände immer in orthogonale Zustände über
	Außerdem gilt das Prinzip der Wahrscheinlichkeitserhaltung: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten einer möglichen Messung muss zu jedem Zeitpunkt 1 ergeben. Aus diesen quantenmechanischen Grundlagen folgen u.a. die folgenden wichtigen Aussagen: No-Cloning-Prinzip: Ein unbekannter Quantenzustand kann nicht kopiert werden
	ein zweites System so zu präparieren
	Das heißt
	ohne dass der ursprüngliche Zustand des Original-Systems zerstört wird
	dass es bekanntermaßen denselben Zustand hat wie ein existierendes System in unbekanntem Zustand
	es gibt keine Möglichkeit
	entweder hat das Originalsystem hinterher einen Zustand
	der nichts mit dem Originalzustand zu tun hat
	oder es befindet sich in einer Verschränkung mit einem anderen System und hat daher als Einzelsystem überhaupt keinen definierten Zustand mehr. Das einfachste quantenmechanische System hat genau zwei orthogonale Zustände (eine Messung kann maximal zwei unterschiedliche Ergebnisse haben)
	Das heißt
	Ein solches System nennt man Qubit
	und es spielt eine ähnliche Rolle in der Quanteninformation wie das Bit in der klassischen Information. In n Qubits lassen sich maximal n klassische Bits speichern und zuverlässig wieder extrahieren
	Allerdings ist dabei nicht notwendigerweise jedes klassische Bit in genau einem Qubit gespeichert. [Bearbeiten]
Anwendungen der Quanteninformation
	dass sie für einige Anwendungen sehr interessant ist
	Die besonderen Eigenschaften der Quanteninformation führen dazu
	in welcher Basis ein Qubit codiert ist
	so dass unbemerktes Lauschen nicht möglich ist
	ist es für ihn praktisch unmöglich
	dieses auszulesen. Zudem wird durch seinen Lauschversuch die Information zerstört
	Die Quantenkryptographie nutzt vor allem das Komplementaritätsprinzip: Wenn der Lauscher nicht weiß
	Zudem geben Quantensysteme gute Zufallszahlengeneratoren für die Generierung von Schlüsseln für klassische Verfahren
	um effizienter zu rechnen ("Quantenparallelität"). [Bearbeiten]
	In Quantencomputern werden vor allem das Superpositionsprinzip und die Verschränkung verwendet
Ãœber die Menge der Information
	Klassisch wird die Informationsmenge in Bit angegeben. In vielerlei Hinsicht äquivalent dazu ist in der Quanteninformation das Qubit
	nicht letztgültig geklärt
	Jedoch ist die Frage
	wieviel Information ein Qubit enthält
	ist das Qubit 'dreidimensional'. Am einfachsten ist das bei Spin-1/2-Systemen zu sehen
	also nur eine Ja-Nein-Alternative
	drei jeweils zueinander komplementäre Observable. Entsprechend sind beim Photon auch alle Überlagerungen dieser Zustände möglich. Ein Photon kann nicht nur links- oder rechtszirkular polarisiert sein
	erscheinen bei einer Messung der zirkularen Polarisation 90% linkszirkular polarisiert. Vor der Messung trägt aber jedes einzelne Photon die Eigenschaft der Überlagerung (siehe Schrödingers Katze)
	wie die drei zueinander senkrechten Spinkomponenten des Spin-1/2-Teilchens
	bei denen die Superpositionen direkt den Raumrichtungen entsprechen
	horizontal oder vertikal und 45° oder -45° polarisiert sein. Diese drei Polarisationen bilden
	die so polarisiert sind
	in denen das Ergebnis einer Spinmessung festliegt
	Während ein klassisches Bit sozusagen 'eindimensional' ist
	sondern auch zu 90% linkszirkular und zu 10% rechtszirkular (elliptische Polarisation). Das heißt: Von vielen Photonen
	es gilt aber für jedes Qubit. So kann z.B ein Photon linkszirkular oder rechtszirkular
	was einer reellen Zahl
	nicht aus. Vielmehr müssen beide Anteile angegeben werden
	also eine Wahl zwischen 1 und 0
	reicht also ein Bit
	ist unendlich viel klassische Information nötig. Diese Beobachtungen legen nahe
	dass ein Qubit unendlich viel Information enthält
	Um den Zustand eines Photons exakt anzugeben
	also unendlich vielen Bits entspricht. Um ein Photon exakt nach Vorschrift zu präparieren
	diese Information aus einem einzelnen Photon wieder herauszukriegen. Denn wenn in einer Richtung die Polarisation bestimmt wird
	der Zustand des Qubits enthält also keinerlei Information darüber
	wird gleichzeitig der Zustand des Photons zerstört
	so dass keine Aussage über die ursprüngliche Wahrscheinlichkeitsverteilung gemacht werden kann. Bei der Messung des Photons erhält man also immer genau ein klassisches Bit Information. Zudem gibt es für unverschränkte Qubits immer genau eine (wenngleich bei Unkenntnis des Zustands unbekannte) Observable (z.B. beim Spin-1/2-Teilchen: eine Messrichtung für den Spin)
	deren Ergebnis durch den Zustand vollständig festgelegt wird; für die dazu komplementären Observablen (Spin-1/2: für die dazu senkrechten Messrichtungen) ist dann das Ergebnis der Messung völlig unbestimmt
	Andererseits ist es völlig unmöglich
	welches Ergebnis die Messung dieser Observablem ergeben wird
	dass die Information eines Qubits gerade ein klassisches Bit beträgt
	Diese Beobachtungen legen nahe
	Der Begriff der Information hängt eng mit den Begriffen Entropie
	Energie und Temperatur zusammen und scheint in der Physik ähnlich fundamental zu sein. en:Quantum information

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