Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Stichpunkte

Allgemein
	Das Quadratische Reziprozitätsgesetz gibt
	ob eine Zahl ein quadratischer Rest oder ein quadratischer Nichtrest ist
	zusammen mit den beiden unten genannten Ergänzungssätzen ein Verfahren an
	um das Legendre-Symbol zu berechnen und damit zu entscheiden
	Das Quadratische Reziprozitätsgesetz besagt
	dass für zwei unterschiedliche Primzahlen p und q gilt: <math>left(frac{p}{q}right)left(frac{q}{p}right)=left{begin{matrix}-1&mbox{wenn}&pequiv qequiv3 pmod 4\1&mbox{sonst}&end{matrix}right.<math> 1
	Ergänzungssatz: Für eine ungerade Primzahl p gilt: <math>left(frac{-1}{p}right)=left{begin{matrix}1&mbox{falls}&pequiv 1pmod 4\-1&mbox{sonst}&end{matrix}right.<math> 2
	Ergänzungssatz: Für eine ungerade Primzahl p gilt: <math>left(frac{2}{p}right)=left{begin{matrix}1&mbox{falls}&pequiv 1mbox{ oder }7pmod 8\-1&mbox{sonst}&end{matrix}right.<math> [Bearbeiten]
Beispiele
	ob die Gleichung <math>x^2equiv10pmod{13}<math> eine Lösung besitzt
	Man möchte entscheiden
	Dazu berechnet man <math>left(frac{10}{13}right)=left(frac{2}{13}right)left(frac{5}{13}right)<math> (das Legendre-Symbol ist multiplikativ im Zähler) Der erste Faktor lässt sich mit Hilfe des zweiten Ergänzungssatzes zu -1 bestimmen
	wendet man das Reziprozitätsgesetz an: <math>left(frac{5}{13}right)=left(frac{13}{5}right) =left(frac{3}{5}right) =left(frac{5}{3}right) =left(frac{2}{3}right) =-1<math> Hier wurde beim zweiten Gleichheitszeichen ausgenutzt
	Um den zweiten Faktor zu berechnen
	dass <math>13equiv3pmod{5}<math>
	Analog auch beim vorletzten Gleichheitszeichen
	ob die Gleichung <math>x^2equiv57pmod{127}<math> eine Lösung besitzt
	dass die obige Gleichung eine Lösung besitzt. (Die beiden Lösungen lauten 6 und 7.) Man möchte entscheiden
	so ergibt sich
	Setzt man nun beide Faktoren zusammen
	<math>left(frac{10}{13}right)=1<math> und damit weiß man
	dass die obige Gleichung keine Lösung besitzt. en:Quadratic reciprocity fr:Loi de réciprocité quadratique hu:Kvadratikus reciprocitás tétele ja:平方剰余�相互法則 pl:Prawo wzajemności reszt kwadratowych sv:Kvadratiska reciprocitetssatsen
	so ergibt sich <math>left(frac{57}{127}right)=-1<math> und damit die Erkenntnis
	Dazu berechnet man wieder <math>left(frac{57}{127}right)=left(frac{3}{127}right)left(frac{19}{127}right)<math> und kann wie oben die beiden Faktoren mit dem Reziprozitätsgesetz weiter vereinfachen: <math>left(frac{3}{127}right) =(-1)left(frac{127}{3}right) =(-1)left(frac{1}{3}right) =-1<math> und <math>left(frac{19}{127}right) =(-1)left(frac{127}{19}right) =(-1)left(frac{13}{19}right) =(-1)left(frac{19}{13}right) =(-1)left(frac{6}{13}right)<math> <math>=(-1)left(frac{2}{13}right)left(frac{3}{13}right) =(-1)(-1)left(frac{13}{3}right) =(-1)(-1)left(frac{1}{3}right) =1<math> Setzt man alles zusammen

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