Quadratische Ergänzung

Stichpunkte

Allgemein
	Die Quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen einer Variable mit Quadrat in ein Binom
	Dieses Verfahren kann zum Lösen von Quadratischen Gleichungen verwendet werden oder zur Bestimmung des Scheitels von quadratischen Funktionen. [Bearbeiten]
Beispiel zur Lösung einer quadratischen Gleichung
	die Gleichung zunächst in ihre Normalform zu überführen und diese dann zu lösen
	Idee dieses Verfahrens ist
	indem das in ihr enthaltene quadratische Binom gesucht wird
	Hierbei sind die allgemeinen Regeln zum Lösen von Gleichungen zu beachten
	Die Gleichung 2·x² - 6·x + 1 = 9 wird zunächst durch Subtraktion von 9 und Division durch 2 überführt in x² - 3·x - 4 = 0. Das ist die Normalform
	25 = 6
	5)² = 2
	5² sind die Koordinaten des Scheitelpunkts der Funktion) |x - 1
	Und so geht es weiter: x² - 3·x - 4 = 0 + 4 x² - 3·x = 4 + (-3/2)²   Das Quadrat der Hälfte des linearen Gliedes addieren. x² - 3·x + 2
	25   Ausklammern mittels binomischer Formel. (x - 1
	5| = 2
	5 und y=2
	5²   Wurzel ziehen. (x=+1
	5   (Die Wurzel einer Quadratzahl ist positiv
	5 => x2 = -2
	5) < 0:      -x + 1
	5 => x1 = 2
	5 = 2
	5 = 4 (x - 1
	Daher muss der linke Ausdruck als Betrag dargestellt werden
	5 = -1 [Bearbeiten]
	5 = 2
	5 + 1
	5 + 1
	5) > 0:      x - 1
	denn x ist uns unbekannt.) Es ergeben sich die beiden Lösungen: (x - 1
Allgemeine Lösung (pq- Formel)
	Statt obige Schritte für jede neue Aufgabe neu zu rechnen
	können sie einmal formal durchgeführt werden
	in die dann jeweils nur die neuen Zahlen eingesetzt werden müssen
	So ergibt sich eine Formel (Schüler nennen sie pq-Formel)
	x^2 + pcdot x &=& - q &|& + (frac{p}{2})^2 && mbox{Das Quadrat der Hälfte des linearen Gliedes addieren}\
	x^2 + pcdot x + (frac{p}{2})^2 &=& (frac{p}{2})^2 - q &|& () && mbox{Ausklammern}\
	2}=-frac{p}{2}pmsqrt{frac{p^2}{4}-q} <math> Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form <math>acdot x^2 + bcdot x + c = 0<math> (die abc-Formel) findet sich im Artikel Quadratische Gleichung.
	Aus der Gleichung <math>x^2 + pcdot x + q = 0<math> folgt mit denselben Umformungen wie oben: <math> begin{matrix} x^2 + pcdot x + q &=& 0 &|& - q &&\
	die auch pq-Formel genannt wird: <math> x_{1
	( x + frac{p}{2} )^2 &=& (frac{p}{2})^2 - q &|& sqrt{} && mbox{Wurzel ziehen}\
	x + frac{p}{2} &=& pm sqrt{(frac{p}{2})^2 - q} && &&\ end{matrix} <math> Damit ergibt sich die Lösungsformel

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