Potenzmenge

Stichpunkte

Allgemein
	Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge
	eine Menge
	Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem
	das heißt
	deren Elemente selbst Mengen sind
	Die Potenzmenge einer Grundmenge X notiert man zumeist als P(X) oder Π(X) oder X*
	für die gilt: U ist Teilmenge von X)
	In Formelschreibweise lautet die Definition der Potenzmenge <math>mathcal{P}left( X right) := left{ U | U subseteq X right} <math> (lies: P von X ist definiert als die Menge aller U
	Hierbei wird die leere Menge üblicherweise als Teilmenge einer jeden Menge betrachtet
	{2}
	4
	{2
	{4}
	Ø }. P(Ø) = { Ø } und nicht etwa P(Ø) = { {Ø}
	b}
	6}
	{b}
	4}
	{a}
	{4
	Ø }. L = {2
	6} } [Bearbeiten]
	{6}
	{2
	{2
	dann ist P(A) = { {a
	b}
	Beispiel: ist A = {a
	6} dann ist die Potenzmenge L*={ { }
	6}
	4
Eigenschaften
	Ist A eine endliche Menge mit n Elementen (<math> n in I!!N_0<math>)
	dann hat P(A) 2n Elemente
	Ist A eine unendliche Menge
	dann hat P(A) eine größere Mächtigkeit als A
	Nach der allgemeinen Kontinuumshypothese (GCH) ist |P(A)| die nach |A| nächstgrößere Mächtigkeit
	Man kann die Potenzmenge von A mit der Menge aller Funktionen von A in die Menge {0
	nämlich durch das Potenzmengenaxiom
	indem man jeder Teilmenge M von A ihre charakteristischen Funktion 1M zuordnet: <math> mathbf{1}_M(x) = begin{cases} 1 & mbox{ falls } x in M \ 0 & mbox{ sonst } end{cases} <math> Die Existenz der Potenzmenge jeder Menge wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als eigenes Axiom gefordert
	1} identifizieren
	Eine Teilmenge der Potenzmenge heißt Mengensystem. cs:PotenÄ?ní množina en:Power set es:Conjunto de partes ja:冪集å?ˆ nl:Machtsverzameling pl:Zbiór potÄ™gowy

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Potenzmenge aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.