Vollkommene Zahl

Glossar
· Hauptseite · Zufälliger Artikel · Portal liste
Diskussion
· Diskussion : Vollkommene Zahl
Webkatalog
· Übersicht · Eigene Artikel · Seite vorschlagen
Aktuelles
· Seite der Woche · Newsletter · Today in History · Kreuzworträtsel
Weitere Inhalte
· Einkaufsmeile · Begriffslexikon · Multimedia
Suche
· Geschi.de · nach Jahren · Weltchronik.de · Geschichtsreferate
Interna
· Seitenneuigkeiten · Hilfe zur Seite · Impressum

Jahres-Sprung
Jahreszahl eingeben: >Chronik2000-Homepage<

Vollkommene Zahl

Stichpunkte

Allgemein
	natÃ¼rlichen Zahlen zur dritten Potenz 3.4 Summe der ersten natÃ¼rlichen Zahlen 4 Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen 5 Verwandtschaft mit anderen Zahlenklassen 5.1 Abundante und defiziente Zahlen 5.2 Befreundete und gesellige Zahlen 5.3 Pseudovollkommene Zahlen 5.4 MerkwÃ¼rdige Zahlen 6 Weblinks [Bearbeiten]
	wenn sie die Summe ihrer positiven echten Teiler (d.h. aller Teiler auÃŸer sich selbst) ist. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Beispiele 2 Berechnung von vollkommenen Zahlen 3 Weitere Eigenschaften der vollkommenen Zahlen 3.1 Summe der reziproken Teiler 3.2 Darstellung von Eaton (1995
	Eine natÃ¼rliche Zahl wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl oder ideale Zahl) genannt
	1996) 3.3 Summe der ersten ungeraden
Beispiele
	Die kleinsten Beispiele fÃ¼r vollkommene Zahlen sind 6 und 28. Die echten Teiler von 6 sind 1
	2 und 3
	7 und 14
	2
	Ihre Summe ist <math>1 + 2 + 3 = 6<math>. FÃ¼r 28 sind die echten Teiler 1
	so dass <math>1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28<math> ist. [Bearbeiten]
	4
Berechnung von vollkommenen Zahlen
	dies sind die so genannten Mersenne-Primzahlen
	wenn <math>2^n-1<math> eine Primzahl ist
	dass <math>2^n(2^{n+1}-1)<math> immer dann eine vollkommene Zahl ist
	Bereits Euklid stellte fest
	dass sich die ersten vier vollkommenen Zahlen aus der Formel <math>2^{n-1}(2^n-1)<math> berechnen lassen: FÃ¼r n = 2: <math>2^1(2^2-1)<math> = 6 = 1 + 2 + 3 FÃ¼r n = 3: <math>2^2(2^3-1)<math> = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 FÃ¼r n = 5: <math>2^4(2^5-1)<math> = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 FÃ¼r n = 7: <math>2^6(2^7-1)<math> = 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 Euklid bewies
	Fast 2000 Jahre spÃ¤ter konnte Leonhard Euler beweisen
	dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen erzeugt werden kÃ¶nnen
	ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt
	Es ist unbekannt
	dass eine solche Zahl
	wenn sie existiert
	Man weiÃŸ jedoch
	grÃ¶ÃŸer als 10300 ist und mindestens 8 (bzw
	wenn die Zahl nicht durch 3 teilbar ist) verschiedene Primteiler hat. [Bearbeiten]
	11
Weitere Eigenschaften der vollkommenen Zahlen
	[Bearbeiten]
Summe der reziproken Teiler
	Die Summe der reziproken Teiler einer vollkommenen Zahl n (einschlieÃŸlich der Zahl selbst) ergibt 2. <math>sum_{kmid n} frac{1}{k} = 2<math> Beispiel: FÃ¼r n = 6 gilt: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 12/6 = 2 [Bearbeiten]
Darstellung von Eaton (1995, 1996)
	Jede gerade vollkommene Zahl n > 6 hat die Darstellung <math>n = 1 + frac{9}{2}k(k+1)<math> mit <math>k = 8j+2<math> und einer nicht-negativen ganzen Zahl j. Umgekehrt erhÃ¤lt man nicht zu jeder natÃ¼rlichen Zahl j eine vollkommene Zahl
	Beispiele: j = 0 ergibt k = 2 und n = 28 (vollkommen). j = 1 ergibt k = 10 und n = 496 (vollkommen). j = 2 ergibt k = 18 und n = 1540 (nicht vollkommen). [Bearbeiten]
Summe der ersten ungeraden, natÃ¼rlichen Zahlen zur dritten Potenz
	Mit Ausnahme von 6 lÃ¤sst sich jede gerade vollkommene Zahl n mit einer geeigneten natÃ¼rlichen Zahl k darstellen als <math>n = sum_{i=1}^k (2i-1)^3<math> Beispiele: <math>28 = 1^3 + 3^3<math> <math>496 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3<math> [Bearbeiten]
Summe der ersten natÃ¼rlichen Zahlen
	Jede gerade vollkommene Zahl n lÃ¤sst sich mit einer geeigneten natÃ¼rlichen Zahl k darstellen als <math>n = sum_{i=1}^ki = frac{k(k+1)}{2}<math> oder anders ausgedrÃ¼ckt: Jede vollkommene Zahl ist auch eine Dreieckszahl
	Beispiele: <math>6 = 1 + 2 + 3 = frac{3cdot 4}{2}<math> <math>28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = frac{7cdot 8}{2}<math> <math>496 = 1 + 2 + 3 + ... + 31 = frac{31cdot 32}{2}<math> [Bearbeiten]
Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen
	deren Summe ihrer echten Teiler das k-fache der Zahl selbst ergeben
	Eine k-vollkommene Zahl ist eine Zahl
	Jede k-vollkommene Zahl mit k > 1 ist abundant
	Die vollkommenen Zahlen lassen sich als k-vollkommene Zahlen mit k = 1 auffassen
	3
	5
	6
	2
	20
	40 und 60
	4
	Beispiel: 120 besitzt als echte Teiler die Zahlen 1
	10
	8
	12
	15
	24
	30
	womit 120 eine 2-vollkommene Zahl ist. [Bearbeiten]
	Die Summe dieser Zahlen ergibt 240 = 2*120
Verwandtschaft mit anderen Zahlenklassen
	[Bearbeiten]
Abundante und defiziente Zahlen
	bei denen die Summe der echten Teiler Ïƒ* grÃ¶ÃŸer als die Zahl selber ist
	Abundante Zahlen sind solche natÃ¼rliche Zahlen
	Defiziente Zahlen sind solche natÃ¼rliche Zahlen
	bei denen sie kleiner als die Zahl selber ist. [Bearbeiten]
Befreundete und gesellige Zahlen
	Zwei verschiedene natÃ¼rliche Zahlen
	bei denen die Summe der echten Teiler Ïƒ* der ersten Zahl die zweite und die der zweiten Zahl die erste ist
	nennt man befreundete Zahlen
	Die kleinere von ihnen ist abundant und die grÃ¶ÃŸere ist defizient
	um auf diese Weise wieder zur Ausgangszahl zurÃ¼ckzukommen
	spricht man von geselligen Zahlen (engl
	Beispiel: 220 = Ïƒ(284) und 284 = Ïƒ(220) bilden das kleinste Paar befreundeter Zahlen. Werden mehr als zwei natÃ¼rliche Zahlen benÃ¶tigt
	Sociable Numbers)
	Beispiel fÃ¼r 5 gesellige Zahlen: 12.496 14.288 15.472 14.536 14.264 [Bearbeiten]
Pseudovollkommene Zahlen
	Eine natÃ¼rliche Zahl <math>n<math> heiÃŸt pseudovollkommen
	wenn sie sich als Summe einiger verschiedener echter Teiler darstellen lÃ¤sst
	aber nicht vollkommen
	weil der Teiler 2 in der Summendarstellung fehlt. Alle pseudovollkommenen Zahlen sind entweder vollkommen oder abundant
	Beispiel: 20 = 1 + 4 + 5 + 10 ist pseudovollkommen
	Eine echte Teilmenge der pseudovollkommenen Zahlen bilden die primÃ¤r pseudovollkommenen Zahlen: Sei <math>n<math> eine zusammengesetzte Zahl und <math>P<math> die Menge der Primteiler von <math>n<math>
	Die Zahl <math>n<math> heiÃŸt primÃ¤r pseudovollkommen
	wenn gilt: <math>sum_{pin P}frac{1}{p} + prod_{pin P}frac{1}{p} = 1<math>
	wenn gilt: <math>n = 1 + sum_{p in P} frac{n}{p}<math>. Ã„quivalent dazu ist die folgende Charakterisierung: Eine zusammengesetzte Zahl <math>n<math> mit der Menge der Primteiler <math>P<math> ist genau dann primÃ¤r pseudovollkommen
	die durch <math>sum_{pin P}frac{1}{p} - prod_{pin P}frac{1}{p}inmathbb{N}<math> charakterisiert sind
	Daran zeigt sich die enge Beziehung der primÃ¤r pseudovollkommenen Zahlen zu den Giuga-Zahlen
	die zugleich vollkommen ist
	Die kleinsten bekannten primÃ¤r pseudovollkommenen Zahlen sind: 6 = 2 * 3 42 = 2 * 3 * 7 1806 = 2 * 3 * 7 * 43 47.058 = 2 * 3 * 11 * 23 * 31 2.214.502.422 = 2 * 3 * 11 * 23 * 31 * 47.059 52.495.396.602 = 2 * 3 * 11 * 17 * 101 * 149 * 3109 8.490.421.583.559.388.410.706.771.261.086 = 2 * 3 * 11 * 23 * 31 * 47.059 * 2.217.342.227 * 1.729.101.023.519 Eigenschaften der primÃ¤r pseudovollkommenen Zahlen: Alle primÃ¤r pseudovollkommenen Zahlen sind quadratfrei. Die Zahl 6 ist die einzige primÃ¤r pseudovollkommene Zahl
	ob es unendlich primÃ¤r pseudovollkommene Zahlen gibt. [Bearbeiten]
	Alle weiteren primÃ¤r pseudovollkommenen Zahlen sind abundant. Es existieren nur endlich viele primÃ¤r pseudovollkommenen Zahlen mit einer vorgegebenen Anzahl von Primfaktoren. Es ist nicht bekannt
MerkwÃ¼rdige Zahlen
	Eine natÃ¼rliche Zahl n heiÃŸt merkwÃ¼rdig
	aber nicht pseudovollkommen ist
	wenn sie abundant
	obwohl die Gesamtsumme die Zahl n Ã¼bersteigt
	Sie lÃ¤sst sich also nicht als Summe einiger ihrer echten Teiler darstellen
	Beispiel: Die Zahl 70 ist die kleinste merkwÃ¼rdige Zahl
	5
	14
	Sie kann nicht als Summe von Zahlen aus der Teilermenge {1
	2
	10
	35} geschrieben werden
	7
	7192
	4030
	Die nÃ¤chsten merkwÃ¼rdigen Zahlen sind 836
	9272
	10430
	7912
	5830
	Eigenschaften: Es existieren unendlich viele merkwÃ¼rdige Zahlen. Alle bekannten merkwÃ¼rdigen Zahlen sind gerade
	Es ist unbekannt
	ob eine ungerade merkwÃ¼rdige Zahl existiert. [Bearbeiten]
Weblinks
	Perfect Number -- from MathWorld (http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html) (englisch) Vollkommene Zahlen und Mersenne-Zahlen (http://www.zum.de/Faecher/Materialien/dorner/manuskripthtml/vollkommenezahlen/vollz.html) ca:Nombre perfecte da:Fuldkomne tal en:Perfect number es:NÃºmero perfecto fr:Nombre parfait hu:TÃ¶kÃ©letes szÃ¡m id:Bilangan sempurna is:Fullkomin tala it:Numero Perfetto ja:å®Œå…¨æ•° ko:ì™„ì „ìˆ˜ nl:Perfect getal no:Perfekt tall pl:Liczby doskonaÅ‚e ru:Ð¡Ð¾Ð²ÐµÑ€ÑˆÐµÐ½Ð½Ð¾Ðµ Ñ‡Ð¸Ñ?Ð»Ð¾ sl:Popolno Å¡tevilo sv:Perfekt tal zh:å®Œå…¨æ•°

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Vollkommene Zahl aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.

Beda Venerabilis Atombombe Dionysius Exiguus Zeitrechnung Klassisch Chemische Waffen Atomwaffe

[Zurück ]

Inhalt Glossar:

Diese Seite einem Freund, Kollegen oder Bekannten weiterempfehlen? Hier klicken!

Allgemein

Beispiele

Berechnung von vollkommenen Zahlen

Weitere Eigenschaften der vollkommenen Zahlen

Summe der reziproken Teiler

Darstellung von Eaton (1995, 1996)

Summe der ersten ungeraden, natÃ¼rlichen Zahlen zur dritten Potenz

Summe der ersten natÃ¼rlichen Zahlen

Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen

Verwandtschaft mit anderen Zahlenklassen

Abundante und defiziente Zahlen

Befreundete und gesellige Zahlen

Pseudovollkommene Zahlen

MerkwÃ¼rdige Zahlen

Weblinks