P-adische Zahl

Stichpunkte

Allgemein
	der 1897 erstmals von Kurt Hensel beschrieben wurde
	Für jede Primzahl p bilden die p-adischen Zahlen einen Erweiterungskörper Qp der rationalen Zahlen
	wenn sie über den reellen Zahlen R und allen Qp gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft
	dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen Q gelöst werden kann
	Diese Körper wurden und werden benutzt
	für die genaue Bedeutung siehe dort)
	um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen
	welches vereinfacht gesprochen aussagt
	oftmals unter Verwendung des lokal-global-Prinzips von Helmut Hasse
	und erlaubt so die Entwicklung einer p-adischen Analysis analog zur reellen Analysis. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	Als metrischer Raum ist Qp vollständig
	"Verbergen") 1 Motivation 2 Konstruktion 2.1 Analytische Konstruktion 2.1.1 p-adischer Betrag 2.1.2 p-adische Metrik 2.2 Algebraische Konstruktion 3 Eigenschaften [Bearbeiten]
Motivation
	...
	dann kann jede ganze Zahl geschrieben werden in einer p-adischen Entwicklung (man sagt
	1
	siehe auch Stellenwertsystem) der Form <math>pmsum_{i=0}^n a_i p^i<math> (1) wobei die <math>a_i<math> Zahlen aus <math>{0
	p-1}<math> sind
	die Zahl wird "zur Basis p geschrieben"
	Ist p eine fest gewählte Primzahl
	die oft mit 1000112 abgekürzt wird
	und 35 hat die Darstellung <math>1*2^5 + 0*2^4 + 0*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0<math>
	Zum Beispiel ist die 2-adische Entwicklung gerade die Binärdarstellung
	Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Zulassung unendlicher Summen dieser Form: <math>pmsum_{i=-infty}^n a_i p^i<math> (2) Diese Reihen sind konvergente Partialsummenfolgen bezüglich des gewöhnlichen Absolutbetrags
	Man kann dann zum Beispiel 1/3 zur Basis 5 darstellen als Grenzwert der Reihe 0
	13131313...5
	für die <math>a_i=0<math> ist für alle <math>i
	In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen
Konstruktion
	[Bearbeiten]
Analytische Konstruktion
	Die reellen Zahlen können konstruiert werden als Vervollständigung der rationalen Zahlen
	Sie werden dabei aufgefasst als Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen
	000... zu schreiben
	oder als 0
	000... = 0
	Dies erlaubt uns zum Beispiel
	999... - es ist 1
	999... in R
	die Zahl 1 als 1
	eine andere Metrik benutzt
	die vom Absolutbetrag erzeugt wird
	erhält man andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. [Bearbeiten]
	Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten Metrik ab
	und indem man statt der üblichen euklidischen Metrik
p-adischer Betrag
	die beide nicht durch p teilbar sind
	Für eine fest vorgegebene Primzahl p definieren wir den p-adischen Betrag auf Q: Jede rationale Zahl x außer 0 lässt sich schreiben als <math>x=p^n(a/b)<math> mit einer ganzen Zahl n und zwei ganzen Zahlen a
	b
	Wir setzen dann <math>|x|_p:=p^{-n}<math> und <math>|0|_p:=0<math>
	Dies ist ein nichtarchimedischer Betrag
	|x|_3=1/9
	damit ist <math>|x|_2=2
	|x|_5=25
	Zum Beispiel ist x=63/550=<math>2^{-1}*3^2*5^{-2}*7*11^{-1}<math>
	|x|_{11}=11<math> <math>|x|_p=1<math> für jede andere Primzahl p Durch diese Definition des Betrags <math>|x|_p<math> werden große Potenzen von p "betragsmäßig klein". [Bearbeiten]
	|x|_7=1/7
p-adische Metrik
	wohingegen die Folge <math>(1
	wenn die Folge ihrer punktweisen p-adischen Abstände eine Nullfolge ist
	^1/_2
	...)<math> in Q bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge
	dp) ist der metrische Raum Qp der p-adischen Zahlen
	y)=|x-y|_p<math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1
	5
	er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen
	...)<math> beschränkt
	1/2^{n+1})=|1/2^{n+1}|_5 = 1<math> Die Vervollständigung des metrischen Raums (Q
	denn für jedes n ist <math>d_5(1/2^n
	Die p-adische Metrik <math>d_p<math> auf Q definiert man nun so: <math>d_p(x
	^1/_8
	^1/_4
	wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent heißen
	aber keine Cauchy-Folge ist
	5^3
	5^2
	5^4
	Auf diese Weise erhalten wir einen vollständigen metrischen Raum
	der (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-äquivalenzklassen) außerdem ein Körper ist
	in dem Q enthalten ist
	konvergieren Reihen bereits dann
	wenn die Summanden eine Nullfolge bilden
	Da die so definierte Metrik eine Ultrametrik ist
	1
	p-1}<math> liegen
	falls k eine ganze Zahl ist und die <math>a_i<math> in <math>{0
	...
	In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form <math>sum_{i=k}^infty a_i p^i<math> (3) sofort als konvergent zu erkennen
	Man kann zeigen
	dass sich jedes Element von Qp als Grenzwert genau einer solchen Reihe darstellen lässt. [Bearbeiten]
Algebraische Konstruktion
	und danach dessen Quotientenkörper Qp
	Hier wird zuerst der Ring der p-adischen ganzen Zahlen definiert
	wobei gilt: <math>1le n
	Wir definieren Zp als projektiven Limes der Ringe Z/pnZ (siehe Kongruenz (Zahlentheorie)): Eine p-adische ganze Zahl ist dann eine Folge <math>(a_n)<math> von Restklassen <math>a_n<math> aus Z/pnZ
Eigenschaften
	Die Menge Qp der p-adischen Zahlen ist überabzählbar
	Die p-adischen Zahlen enthalten Q und bilden einen Körper der Charakteristik 0
	Dieser Körper kann nicht angeordnet werden
	Der topologische Raum Zp der p-adischen ganzen Zahlen ist kompakt
	der Raum aller p-adischen Zahlen ist lokal kompakt
	Als metrische Räume sind beide vollständig
	bereits die Adjunktion einer Quadratwurzel ist algebraisch abgeschlossen
	die komplexen Zahlen
	Die reellen Zahlen haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung
	Im Gegensatz dazu hat der algebraische Abschluss von Qp einen unendlichen Erweiterungsgrad
	Qp hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen
	der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht
	Der algebraische Abschluss von Qp ist nicht vollständig und kann vervollständigt werden zum Körper Cp
	in Q2 liegt <math>exp(4)<math>
	Die übliche Definition der e-Funktion <math>exp(x) := sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!}<math> konvergiert für alle x mit <math>|x|_p2<math>
	in denen die p-te Wurzel von <math>exp(p)<math> bzw. die vierte Wurzel von <math>exp(4)<math> liegt; diese Wurzeln könnte man als p-adische Entsprechungen der Eulerschen Zahl auffassen
	Es gibt algebraische Erweiterungen von Qp
	}718...<math> wenig zu tun. Funktionen von R nach R mit Ableitung 0 sind konstant
	Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = 2{
	ist aber nicht einmal lokal konstant in 0
	f(0) = 0
	f(x) = (1/|x|p)2 für x≠0
	auf ganz Qp die Ableitung 0
	zum Beispiel hat die Funktion f: Qp → Qp
	Für Funktionen von Qp nach Qp gilt dieser Satz nicht
	r_2
	Q_2
	Q_3
	r_5
	Q_5
	r_3
	...<math>
	Q_7
	dann gibt es eine Folge <math>(x_n)<math> in Q
	und die Ableitung in 0 ist <math>lim_{hto 0}left|frac{(1/|h|_p)^2}{h}right|_p = lim_{hto 0}|h|_p = 0<math>. Sind <math>r_infty
	...<math> Elemente von <math>Q_infty (:=R)
	Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert
	so dass für alle p (einschließlich <math>infty<math>) der Grenzwert der <math>x_n<math> in Qp <math>r_p<math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz genannt.) en:P-adic number es:Número p-ádico fr:Nombre p-adique ja:P進数 tr:P-sel Sayılar
	r_7

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