NatÃ¼rliche Zahl

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NatÃ¼rliche Zahl

Stichpunkte

Allgemein
	NatÃ¼rliche Zahlen sind die dem mathematischen Laien wohl vertrautesten Zahlen
	Formelzeichen <math>mathbb{N}<math> enthÃ¤lt je nach Definition die positiven ganzen Zahlen
	3
	1
	also <math>mathbb{N} = {
	}<math> oder man nimmt noch die Null dazu
	3
	also <math>mathbb{N} = {
	ldots
	1
	ldots
	}<math> FÃ¼r diese beiden verschiedenen Definitionen gibt es sowohl historische als auch praktische GrÃ¼nde
	2
	0
	Die Menge der natÃ¼rlichen Zahlen
	2
	was dem Namen "natÃ¼rlich" etwas in Frage stellt
	So rÃ¼hrt die Definition ohne die Null daher
	dass ihre EinfÃ¼hrung eine der ersten groÃŸen mathematischen Leistungen war und lange Zeit ohne sie gerechnet wurde
	insbesondere der Zahlentheorie ist die Definition ohne Null hÃ¤ufiger anzutreffen
	In manchen Gebieten der Mathematik
	Aber z.B. in der mathematischen Logik
	inbesondere in der Mengenlehre
	die auch DIN 5473 verwendet
	sowie in der theoretischen Informatik vereinfacht die Definition mit Null die Darstellung
	also verwendet man die entsprechende Definition
	ob man auch die Null als natÃ¼rliche Zahl bezeichnet oder nicht
	Siehe dazu auch #Bezeichnung der natÃ¼rlichen Zahlen FÃ¼r eine formale Definition der Menge der natÃ¼rlichen Zahlen und der zugehÃ¶rigen Rechenregeln ist es letztlich egal
	Im folgenden wird jedoch zugunsten der VerstÃ¤ndlichkeit nur davon ausgegangen
	dass 0 eine natÃ¼rliche Zahl ist
	Die behandelten Axiome und Rechenregeln lassen sich analog aber auch auf 1
	2
	3
	... (ohne 0) anwenden
	Wichtig ist
	dass es ein Startelement gibt
	und zu jedem Element einen Nachfolger
	"Verbergen") 1 Peano-Axiome 2 Ein Modell der natÃ¼rlichen Zahlen 3 Die natÃ¼rlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen 4 Bezeichnung der natÃ¼rlichen Zahlen 5 Primzahlen 6 Die vielleicht einfachste Programmiersprache der Welt 7 Verwandte Themen 8 siehe auch [Bearbeiten]
	denn die natÃ¼rlichen Zahlen hÃ¤ngen eng mit dem Prinzip der mathematischen Induktion zusammen. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
Peano-Axiome
	die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde
	Es folgt eine Definition der Menge der natÃ¼rlichen Zahlen <math>mathbb{N}<math> durch Axiome
	so enthÃ¤lt X bereits alle natÃ¼rlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst eine Teilmenge der natÃ¼rlichen Zahlen
	Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt. 0 ist eine natÃ¼rliche Zahl Jede natÃ¼rliche Zahl <math>n<math> besitzt genau eine natÃ¼rliche Zahl <math>n'<math> als Nachfolger 0 ist nicht Nachfolger irgendeiner natÃ¼rlichen Zahl Zwei verschiedene natÃ¼rliche Zahlen <math>n<math> und <math>m<math> besitzen stets verschiedene Nachfolger <math>n'<math> und <math>m'<math> EnthÃ¤lt eine Menge X die Zahl 0 und mit jeder natÃ¼rlichen Zahl <math>n<math> auch stets deren Nachfolger <math>n'<math>
	es bildet die Grundlage fÃ¼r die Beweismethode der vollstÃ¤ndigen Induktion
	dann ist X gleich der Menge der natÃ¼rlichen Zahlen.) Das letzte Axiom nennt man auch das Induktionsaxiom
	Hiervon ausgehend
	werden auf <math>mathbb{N}<math> die Addition und Multiplikation definiert
	dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind
	Man setzt <math>n + 0 := n<math> <math>n + m' := (n + m)'<math> und dann <math>n * 0 := 0<math> <math>n * m' := (n * m) + n<math> Das Induktionsaxiom garantiert jeweils
	ergibt sich <math>n'=n+1<math>
	Setzt man nun noch 1 := 0'
	Peano selbst begann die natÃ¼rlichen Zahlen in seinen Axiomen mit der 1 statt mit der 0 (laut dem Artikel auf [1] (http://www.mathematik.ch/mathematiker/axiome_von_peano.php))
	da neben Variablen fÃ¼r Zahlen im Induktionsaxiom auch die Mengenvariable X vorkommt
	Die Peano-Axiome bilden ein Axiomensystem der PrÃ¤dikatenlogik zweiter Stufe
	Ersetzt man dieses Axiom durch die entsprechenden unendlich vielen Axiome erster Stufe
	so gelangt man zur Peano-Arithmetik. [Bearbeiten]
Ein Modell der natÃ¼rlichen Zahlen
	deren Existenz zu beweisen. John von Neumann gab eine MÃ¶glichkeit an
	sah aber keine Notwendigkeit
	Peano beschrieb mit seinem Axiom-System zwar die Eigenschaften von natÃ¼rlichen Zahlen
	...
	d.h. er beschrieb ein mengentheoretisches Modell der natÃ¼rlichen Zahlen. <math>0 := emptyset<math> <math>1 = 0' := {0} = {emptyset}<math> <math>2 = 1' := {0
	1} = {emptyset
	1
	die natÃ¼rlichen Zahlen durch Mengen darzustellen
	die nur die leere Menge (=<math>emptyset<math>) als Element enthÃ¤lt; das ist nicht die leere Menge selbst! Die leere Menge (oder 0) enthÃ¤lt kein Element; die Menge 1 hingegen enthÃ¤lt genau ein Element. [Bearbeiten]
	{emptyset}}<math> . . . <math>n' := {0
	n} = n cup {n}<math> Zur ErklÃ¤rung: 1 ist die Menge
Die natÃ¼rlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen
	die Theorie der natÃ¼rlichen Zahlen zu begrÃ¼nden
	Die EinfÃ¼hrung der natÃ¼rlichen Zahlen mit Hilfe der Peano-Axiome ist eine MÃ¶glichkeit
	*
	0
	+
	1)<math> axiomatisch einsteigen und die natÃ¼rlichen Zahlen als Teilmenge von <math>mathbb{R}<math> definieren
	Als Alternative kann man beim KÃ¶rper der reellen Zahlen <math>(mathbb{R}
	Dazu benÃ¶tigt man zunÃ¤chst den Begriff einer induktiven Menge
	wenn folgende Bedingungen erfÃ¼llt sind: 0 ist Element von M Ist x Element von M
	so ist auch x+1 Element von M Dann ist <math>mathbb{N}<math> der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von <math>mathbb{R}<math> [Bearbeiten]
	Eine Teilmenge M von <math>mathbb{R}<math> heiÃŸt induktiv
Bezeichnung der natÃ¼rlichen Zahlen
	FÃ¼r die Menge der natÃ¼rlichen Zahlen wird das Symbol N (fett dargestellt) verwendet
	Weil dies handschriftlich nur schwer darstellbar ist
	schreibt man dann ein "Doppelstrich-N"
	Mit der Zeit hat sich dieses Symbol <math>mathbb{N}<math> fÃ¼r die natÃ¼rlichen Zahlen (und ebenso die anderen Doppelstrich-Buchstaben fÃ¼r die anderen Zahlenbereiche) auch im Drucksatz durchgesetzt
	3
	2
	...) ganzen Zahlen zu sprechen
	ist es sinnvoll
	1
	von positiven (1
	...) und nicht-negativen (0
	Da nicht Ã¼berall die 0 als ein Element der natÃ¼rlichen Zahlen angesehen wird
	2
	wird zur Unterscheidung das Symbol <math>mathbb{N}_0<math> oder <math>mathbb{N} cup { 0 }<math> fÃ¼r die Menge der natÃ¼rlichen Zahlen mit Null verwendet
	In Texten
	in denen die Menge der natÃ¼rlichen Zahlen ohne Null als <math>mathbb{N}<math> bezeichnet wird
	wird meist <math>mathbb{N}^+<math>
	Falls jedoch das Symbol <math>mathbb{N}<math> fÃ¼r die Menge der natÃ¼rlichen Zahlen mit Null eingefÃ¼hrt wurde
	<math>mathbb{N}_{>0}<math> oder <math>mathbb{N} setminus {0}<math> geschrieben
	wenn die Null explizit ausgeschlossen werden soll. [Bearbeiten]
Primzahlen
	auÃŸer der 0
	Die Primzahlen stellen die multiplikativen Grundbausteine der natÃ¼rlichen Zahlen dar: Jede natÃ¼rliche Zahl
	lÃ¤sst sich (von der Reihenfolge abgesehen) auf genau eine Art als Multiplikation von Primzahlen zusammensetzen
	Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist dabei die Aussage des Fundamentalsatzes der Arithmetik
	Die 1 ist keine Primzahl; ihre Primfaktorzerlegung ist das leere Produkt mit 0 Faktoren
	welches definitionsgemÃ¤ÃŸ den Wert 1 hat. [Bearbeiten]
Die vielleicht einfachste Programmiersprache der Welt
	<math>mathbb{N}<math> ist auch die Syntax einer Programmiersprache! Denn Dank der Standardnummerierung der berechenbaren (1-stelligen) Funktionen <math>varphi : mathbb{N} to P^{(1)}<math> kann jeder natÃ¼rlichen Zahl <math>i in mathbb{N}<math> eine berechenbare (1-stellige) Zahlenfunktion <math>varphi_i:subseteq mathbb{N} to mathbb{N}<math> zugeordnet werden. Siehe Berechenbarkeitstheorie. [Bearbeiten]
Verwandte Themen
	Zahlenbereiche Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen Komplexe Zahlen Ordinalzahlen Zahlensystem Liste besonderer Zahlen Berechenbarkeit [Bearbeiten]
siehe auch
	Zahlentheorie Dyskalkulie bg:Ð•Ñ?Ñ‚ÐµÑ?Ñ‚Ð²ÐµÐ½Ð¾ Ñ‡Ð¸Ñ?Ð»Ð¾ cs:PÅ™irozenÃ© Ä?Ãslo da:Naturligt tal en:Natural number eo:Naturaj nombroj es:NÃºmero natural et:Naturaalarv eu:Zenbaki arrunt fi:Luonnollinen luku fr:Entier naturel he:×ž×¡×¤×¨_×˜×‘×¢×™ hu:TermÃ©szetes szÃ¡m ia:Numero natural id:Bilangan asli is:NÃ¡ttÃºrulegar tÃ¶lur ja:è‡ªç„¶æ•° jbo:Rarna'u ko:ìž?ì—°ìˆ˜ lt:NatÅ«riniai skaiÄ?iai nl:Natuurlijk getal no:Naturlig tall pl:Liczby naturalne pt:NÃºmero natural ru:Ð?Ð°Ñ‚ÑƒÑ€Ð°Ð»ÑŒÐ½Ð¾Ðµ Ñ‡Ð¸Ñ?Ð»Ð¾ scn:Nummuru naturali sl:Naravno Å¡tevilo sv:Naturliga tal tr:DoÄŸal SayÄ± uk:Ð?Ð°Ñ‚ÑƒÑ€Ð°Ð»ÑŒÐ½Ðµ Ñ‡Ð¸Ñ?Ð»Ð¾ zh:è‡ªç„¶æ•°

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Peano-Axiome

Ein Modell der natÃ¼rlichen Zahlen

Die natÃ¼rlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen

Bezeichnung der natÃ¼rlichen Zahlen

Primzahlen

Die vielleicht einfachste Programmiersprache der Welt

Verwandte Themen

siehe auch