Tupel

Stichpunkte

Allgemein
	Ein Tupel
	ist ein Begriff der Mathematik
	häufig auch n-Tupel
	Er bezeichnet eine geordnete Zusammenstellung von Objekten
	bei der im Gegensatz zu Mengen eine Reihenfolge festgelegt ist
	zuweilen auch durch spitze Klammern angegeben: (a
	dass bei einem Tupel jedem seiner Elemente ein eindeutiger Platz zugeordnet ist
	c) <a
	c> Die Objekte werden als Elemente
	kann es auch mehrfach dasselbe Element enthalten. n bezeichnet hierbei die Anzahl der Elemente des Tupels
	b
	Komponenten oder Einträge des Tupels bezeichnet. Dadurch
	b
	Tupel werden üblicherweise durch runde
	Diese Anzahl muss abzählbar sein
	Im Fall eines Tupels mit zwei Elementen spricht man auch von einem geordneten Paar. Üblicherweise werden die Elemente eines Tupels mit Hilfe der natürlichen Zahlen indiziert. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Abgrenzung gegenüber Mengen 2 Beispiele 3 Formale Definition 4 Herkunft [Bearbeiten]
Abgrenzung gegenüber Mengen
	Ein Tupel ist von einer Menge zu unterscheiden
	Bei einer Menge ist die Reihenfolge der Elemente unerheblich! Deswegen kann eine Menge ein und dasselbe Element niemals mehrfach enthalten
	Sie kann es nur entweder enthalten
	oder es nicht enthalten
	Für die Menge stehen geschweifte Klammern
	sind. [Bearbeiten]
	die kennzeichnen
	d.h. ohne Reihenfolge
	dass die Elemente ungeordnet
Beispiele
	siehe formale Definition unten
	b)
	a}. Mengentheoretisch kann man das Paar (a
	b} = {b
	b) z.B. als (a
	Das Tupel (a
	a)
	{a
	b} } definieren
	{a
	b) ist verschieden von (b
	b) = { {a}
	dagegen ist die Menge {a
	b} } wie gewünscht verschieden von (a
	a) = { {b}
	dann ist (b
	Ein Spezialfall von N-Tupeln sind Vektoren (eindimensionale Matrizen) in einem N-dimensionalen Vektorraum
	beispielsweise den reellen Zahlen
	bei denen alle Elemente derselben Klasse von Objekten angehören
	ist Tupel ein rein mengentheoretischer Begriff
	nämlich der Vektorraum definiert sein muss
	Während für Vektoren aber zusätzlich eine algebraische Struktur
	Beispielsweise lässt sich ein Richtungsvektor im Raum als 3-Tupel darstellen
	ein Richtungsvektor in der Ebene als 2-Tupel
	Ein 2-Tupel wird auch als Paar bezeichnet. (a
	b) ist ein Paar oder 2-Tupel. "(90
	60
	90)" ist ein 3-Tupel. [Bearbeiten]
Formale Definition
	bn) genau dann wenn gilt: a1=b1
	b2
	...
	...
	dass zwei n-Tupel dann und nur dann gleich sind
	Für Tupel wird vor allem gefordert
	a2
	a2=b2
	...
	an)= (b1
	wenn sie in allen entsprechenden Komponenten übereinstimmen: (a1
	an=bn
	Zwei alternative Definitionen derartiger Tupel sind üblich. Man fasst ein n-Tupel mit Einträgen aus einer Menge X (also einen n-stelligen Vektor in X) als Funktion von der Menge {1
	n} in die Menge X auf
	...
	a2) wird definiert als die Menge {a1
	d.h. eine Funktion einer endlichen Teilmenge der natürlichen Zahlen. Mit Hilfe der induktiven Definition : Ein 2-Tupel (a1
	Ein Tupel ist also eine endliche Folge
	wobei X ein (n-1)-Tupel ist Bei der ersten Definition benötigt man zur Voraussetzung den Begriff der Funktion
	an)
	a2} } Für n > 2 hat ein n-Tupel die Form (X
	{a1
	Hierzu wird man z.B. zuerst geordnete Paare wie oben angegeben definieren
	im nächsten Schritt n-Tupel als spezielle Funktionen (Folgen) und hierauf dann n-stellige Funktionen und Relationen als Mengen von n-Tupeln
	dann zweistellige Funktionen und Relationen als Mengen geordneter Paare
	dass nicht nur geordnete Paare und 2-Tupel unterschiedliche mathematische Objekte sind
	sondern auch zweistellinge und n-stellige Relationen (incl
	Dies hat den Nachteil
	Funktionen) unterschiedlich strukturiert sind. Die zweite Definition ist die am weitesten verbreitete
	sondern erlaubt es auch
	den Relations- (und Funktions-) Begriff auf dem Begriff des n-Tupels aufzubauen
	Sie gewährleistet nicht nur die eingangs angesprochene Hauptforderung an n-Tupel
	Sie hat allerdings den Nachteil
	dass die bei der Bildung des Tupels intendierte Stellenzahl nicht als Information im Tupel enthalten ist
	(n-1)-Tupel oder n-Tupel zu behandeln ist
	...
	3-Tupel
	ob es als 2-Tupel
	denn es gehört ja allen diesen Gruppen an
	Aus einem solcherart definierten n-Tupel kann (im Unterschied zur ersten Definition!) nicht erschlossen werden
	fällt z.B. das Ergebnis für die Projektion auf die zweite Komponente des Tupels unterschiedlich aus - tatsächlich kommen sämtliche Komponenten außer der ersten hierfür in Frage
	Je nachdem
	welcher Gruppe wir es zuordnen
	Eine Abänderung der Definition
	ist leicht möglich
	welche diesen Nachteil vermeidet
	also: (a1
	an-1)
	an) := { ((a1
	dessen erste Komponente ein (n-1)-Tupel ist
	...
	...
	welche zum Einen die Stellenanzahl n des Tupels enthält und zum Anderen ein geordnetes Paar
	Z.B. kann man für n > 2 ein n-Tupel als eine zwei-elementige Menge definieren
	n } [Bearbeiten]
	an)
Herkunft
	usw. für n Elemente entstanden ist
	N-Tupel ist ein Kunstwort
	Quintupel
	Quadrupel
	welches aus der Verallgemeinerung der Ausdrücke Paar
	Tripel
	indem bei Quintupel das "Quin" durch "N-" ersetzt worden ist
	Quaternionen
	Relation cs:Uspořádaná n-tice en:N-tuple et:N-korteež fr:N-uplet pl:Krotka
	Davon lässt sich auch die Aussprache der Entsprechung zu "Tupel" in Fremdsprachen ableiten. Siehe auch: Mengenlehre

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