Logarithmus

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Logarithmus

Stichpunkte

Allgemein
	arithmos = Zahl)
	neben der Wurzelfunktion eine von zwei Umkehrfunktionen des Potenzierens
	e und 1/2 In der Mathematik ist die Logarithmusfunktion (griechisch: logos = VerhÃ¤ltnis
	Bild nicht gefunden Graph des Logarithmus zur Basis 2
	mit der man die Basis a potenzieren muss
	Der Logarithmus als Ergebnis dieser Funktion ist wie folgt definiert: FÃ¼r a > 0
	um die Zahl y zu erhalten
	a â‰ 1 gilt: Wenn y = ax dann ist x = loga(y) Lies: x ist der Logarithmus von y zur Basis a. a wird als Basis oder Grundzahl bezeichnet. y heiÃŸt Numerus. x ist der Logarithmus. Der Logarithmus (zur Basis a) einer Zahl y ist also diejenige Zahl x
	Der Logarithmus ist also ein Exponent
	Im Sprachgebrauch wird das Wort Logarithmus hÃ¤ufig ungenau im Sinne von Logarithmusfunktion (Formelzeichen "log") verwendet
	PrÃ¤zise gesprochen ist der Logarithmus jedoch lediglich das Ergebnis der Logarithmusfunktion
	Der oben angegebenen Definition entnimmt man
	die sich durch ihre Basis a unterscheiden
	dass es verschiedene Logarithmusfunktionen gibt
	Potenzreihe 7 Der Logarithmus von Null und den negativen Zahlen 8 Basisumrechnung 8.1 Beispiel 9 Programmiersprachen 10 Rechenregeln mit Beispiel 11 Ableitung und Integral des Logarithmus 12 Komplexer Logarithmus 13 Anwendungen des Logarithmus 14 Exponential- und logarithmische Gleichungen 15 Weblinks [Bearbeiten]
	Die Menge aller Logarithmen zur einer konkreten Basis a nennt man das Logarithmensystem zur Basis a. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Der Logarithmus als Umkehrfunktion des Potenzierens 2 Der Logarithmus als GrÃ¶ÃŸenmaÃŸstab 3 Logarithmengesetze 3.1 Logarithmen von Produkten 3.2 Logarithmen von Quotienten 3.3 Logarithmen von Wurzeln 4 Der Logarithmus als Rechenhilfe 5 NatÃ¼rlicher und andere spezielle Logarithmen 6 Berechnung des Logarithmus
Der Logarithmus als Umkehrfunktion des Potenzierens
	Die Funktionen ax und loga(x) sind Umkehrfunktionen voneinander
	d.h
	Logarithmieren macht Potenzieren rÃ¼ckgÃ¤ngig und umgekehrt: <math> a^{{rm log}_a x} = x <math> und <math> {rm log}_a(a^x) = x<math> [Bearbeiten]
Der Logarithmus als GrÃ¶ÃŸenmaÃŸstab
	Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus) ist im Dezimalsystem ein MaÃŸ fÃ¼r die GrÃ¶ÃŸenordnung einer Zahl (= Anzahl der Zehnerpotenzen)
	Beispiele: Wenn -2 < log10(x) < -1
	dann 1 < x <10 Wenn 1 < log10(x) < 2
	1 < x <1 Wenn 0 < log10(x) < 1
	dann 100 < x <1000 etc. Man nennt den ganzzahligen Wert des Logarithmus auch Kennzahl . [Bearbeiten]
	dann 10 < x <100 Wenn 2 < log10(x) < 3
	1 Wenn -1 < log10(x) < 0
	dann 0
	01 < x <0
	dann 0
Logarithmengesetze
	[Bearbeiten]
Logarithmen von Produkten
	FÃ¼r das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht eine hilfreiche Rechenregel zur VerfÃ¼gung: <math>log _a (xcdot y) = log _a (x) + log _a (y)<math> Oder allgemeiner: <math> log _a left( x_1 cdot x_2 cdots x_n right) = log _a left(x_1 right) +log _a left(x_2 right) + cdots + log _a left( x_n right) <math> FÃ¼r Potenzen mit reellem Exponent <math>r<math> gilt die Regel: <math>log _a left( x^r right) = r cdot log _a (x)<math> [Bearbeiten]
Logarithmen von Quotienten
	Diese leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab
	Hier sei nur der einfache Fall angegeben: <math> log _a left(frac{x}{y} right) = log_a (x) - log_a (y)<math> [Bearbeiten]
Logarithmen von Wurzeln
	Da Wurzeln nichts anderes sind als gebrochene Exponenten und oben bereits der Logarithmus von Potenzen angegeben wurde
	sollte die folgende Rechenregel nicht mehr Ã¼berraschen: <math>log_a left( sqrt[n]{x} right) = log_a left( x^frac{1}{n} right) = frac{log_a(x)}{n} <math> [Bearbeiten]
Der Logarithmus als Rechenhilfe
	die Mantisse genannt werden
	Im Normalfall tauchen beim Logarithmieren auch Nachkommastellen auf
	47712. Multipliziert man eine Zahl mit der Basis
	So ist log10(3) â‰ˆ 0
	Ã¤ndert sich zwar die Kennzahl
	47712
	es ist also log10(3*10) = log10(30) â‰ˆ 1
	nicht aber die Mantisse
	um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen
	nutzte man dies aus
	Bevor elektronische Rechenmaschinen zur VerfÃ¼gung standen
	Als Hilfsmittel verwendete man hierzu oftmals RechenstÃ¤be (John Napier) oder Logarithmentafeln
	Siehe dazu die ersten beiden Rechenregeln am Ende des Artikels. [Bearbeiten]
NatÃ¼rlicher und andere spezielle Logarithmen
	Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl) wird auch als natÃ¼rlicher Logarithmus bezeichnet und mit "ln" abgekÃ¼rzt: Wenn y = ex dann ist x = loge(y) = ln(y). Die Zahl e kennzeichnet sich durch: <math>frac{partial}{partial x} e^x = e^x<math> Den Logarithmus zur Basis e nennt man den NatÃ¼rlichen Logarithmus und seine Umkehrfunktion ex die Exponentialfunktion
	Die Zahl e ist also dadurch definierbar
	dass die Exponentialfunktion ihre eigene erste Ableitung ist (sich durchs Differenzieren und Integrieren nicht Ã¤ndert)
	weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis e in vielen ZusammenhÃ¤ngen (Integralrechnung
	Komplexe Zahlen
	Trigonometrie) auftreten
	Der Begriff NatÃ¼rlicher Logarithmus wurde gewÃ¤hlt
	Differentialrechnung
	Zudem lÃ¤sst sich der natÃ¼rliche Logarithmus sehr einfach Integrieren und Differenzieren
	benannt nach dem Mathematiker Henry Briggs
	Der Logarithmus zur Basis 10 wird oft mit "lg" abgekÃ¼rzt; er heiÃŸt dekadischer Logarithmus oder auch Briggscher Logarithmus
	dualer oder dyadischer Logarithmus
	Der Logarithmus zur Basis 2 - abgekÃ¼rzt mit "lb" oder "ld" - heiÃŸt binÃ¤rer Logarithmus
	Zweierlogarithmus [Bearbeiten]
	AbkÃ¼rzungen loga: allgemeiner Logarithmus mit der beliebigen Basis a (Hinweis: In manchen Programmiersprachen wird mit log() der natÃ¼rliche Logarithmus berechnet
	manche Taschenrechner berechnen mit log den dekadischen Logarithmus) ln = loge: NatÃ¼rlicher Logarithmus zur Basis e (Logarithmus naturalis) lg = log10: Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus) lb = ld = log2: Logarithmus zur Basis 2
	dualer Logarithmus
	binÃ¤rer Logarithmus
Berechnung des Logarithmus, Potenzreihe
	qquad -1 < x le 1 <math> des natÃ¼rlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 konvergiert nicht sonderlich schnell
	Die Potenzreihenentwicklung <math> ln(1+x) = sum_{k=0}^infty (-1)^{k} frac{x^{k+1}}{k+1} = x-frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} -frac{x^4}{4} pm cdots
	qquad x > 0 <math> mit der RestgliedabschÃ¤tzung <math> \|R_{n+1}(x)\| le frac{(x-1)^2}{2
	je nÃ¤her x bei 1 liegt
	die auf der Potenzreihenentwicklung des Areatangens Hyperbolicus beruht: <math> ln(x) = 2 cdot sum_{k=0}^{n} frac{1}{2k+1} cdot left( frac{x-1}{x+1}right)^{2k+1} + ; R_{n+1}(x)
	\|x\|} left( frac{x-1}{x+1}right)^{2n}. <math> Die Reihe zeigt fÃ¼r x und 1/x Ã¤hnliches Konvergenzverhalten und konvergiert um so besser
	Zur Berechnung verwendet man besser folgende Reihendarstellung
	die man jetzt fÃ¼r <math>left( 2^{-m} right) cdot x<math> berechnet
	verwendet man <math> ln(x) = m ln (2) + ln(2^{-m} x).quad <math> Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl m kann man immer erreichen
	Um dies zu erreichen
	dass gilt <math>1 / sqrt{2} le 2^{-m}x le sqrt{2}<math> und erhÃ¶ht damit die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe
	Allerdings braucht man dann auch eine gute NÃ¤herung fÃ¼r ln 2
	left(!sqrt[n]{x} -1 right) <math> sowie <math> ln(x) = lim_{h to 0} frac{x^h-1}{h}. <math> FÃ¼r eine praktische Berechnung von ln x sind die beiden letzten Formeln jedoch nicht sonderlich geeignet. [Bearbeiten]
	FÃ¼r den natÃ¼rlichen Logarithmus gilt zudem: <math> ln(x) = lim_{n to infty} n
Der Logarithmus von Null und den negativen Zahlen
	In den reellen Zahlen ist der Logarithmus fÃ¼r Null und negative Zahlen nicht definiert. BegrÃ¼ndungen: x = loga(0) mÃ¼sste dann 0 = ax bedeuten
	Was aber nicht der Fall ist
	wenn a ungleich Null ist. (als Beispiel die negative Zahl -1) x = loga(-1) mÃ¼sste dann -1 = ax bedeuten
	Was aber nicht sein kann
	wenn a grÃ¶ÃŸer Null ist. In der Funktionentheorie
	in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden
	kann man den Logarithmus auch fÃ¼r negative Zahlen definieren (siehe "Komplexer Logarithmus"). [Bearbeiten]
Basisumrechnung
	Man kann Logarithmen zu einer Basis a in Logarithmen zu einer anderen Basis b umrechen: <math>log_b(r) = frac{log_a(r)}{log_a(b)}<math>Denn: schreibe den linken Ausdruck um: <math>log_b(r) = x Leftrightarrow b^x = r<math> (Definition des Logarithmus) <math>b^x = r Leftrightarrow log_a(b^x) = log_a(r) Leftrightarrow x cdot log_a(b) = log_a(r) Leftrightarrow x = frac{log_a(r)}{log_a(b)}<math> Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i.a
	Logarithmen zur Basis 10 und natÃ¼rliche Logarithmen zur VerfÃ¼gung
	Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen. [Bearbeiten]
Beispiel
	<math>log_{10}(8) = frac{log_2(8)}{log_2(10)} approx frac{3}{3
	90 <math> wobei <math>log_{2}(8) = frac{log_{10}(8)}{log_{10}(2)}<math> Alternative mit Hilfe des ln: <math>log_{10}(8) = frac{ln(8)}{ln(10)} approx 0
	90 <math> [Bearbeiten]
	32} approx 0
Programmiersprachen
	In vielen Programmiersprachen (z.B
	BASIC) heiÃŸt die Funktion fÃ¼r den NatÃ¼rlichen Logarithmus log
	C++
	C
	Dennoch ist das entsprechende Formelzeichen ln und nicht log
	In FORTRAN heiÃŸt der NatÃ¼rliche Logarithmus alog. [Bearbeiten]
Rechenregeln mit Beispiel
	Die Rechenregeln lassen sich mit Hilfe der Potenzgesetze begrÃ¼nden. Rechenregel Beispiel <math>log_b(u cdot v) = log_b(u) + log _b(v)<math> <math>log_{10}(10 cdot 100) = log_{10}(10) + log_{10}(100) = 1 + 2 = 3<math> <math>log_b left( frac{u}{v} right) = log_b(u) - log_b(v)<math> <math>log_{10} left( frac{100}{10} right) = log_{10}(100) - log_{10}(10) = 2 - 1 = 1<math> <math>log_b(u^z) = z cdot log_b(u)<math> <math>log_{10}(100^2) = 2 cdot log_{10}(100) = 2 cdot 2 = 4<math> <math>log_b(sqrt[z]{u}) = log_b(u^{1/z} ) = frac{1}{z} cdot log_b(u)<math> <math>log_{10}(sqrt[2]{100}) = frac{1}{2} cdot log_{10}(100) = frac{1}{2} cdot 2 = 1<math> <math>log_a left( frac{1}{x} right) = -log_a(x)<math> <math>log_{10} left( frac{1}{100} right) = -log_{10}(100) = -2<math> <math>log_a left( 1 right) = 0<math> <math>log_{10} left(1 right) = 0<math> <math>log_a left(a right) = 1<math> <math>log_{10} left(10 right) = 1<math> [Bearbeiten]
Ableitung und Integral des Logarithmus
	Die natÃ¼rliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
	Daher erhÃ¤lt man die Ableitung des natÃ¼rlichen Logarithmus einfach durch Anwendung der Umkehrregel (siehe Beispiel dort)
	mathrm{d}x} = xcdotln{x}-int{xcdotfrac{1}{x}
	mathrm{d}x} = int{1cdotln{x}
	Es ergibt sich <math>ln'(x) = frac{1}{x}<math> FÃ¼r allgemeine Logarithmen gilt: <math>(log_b{x})' = frac{1}{xln{b}}<math> Das unbestimmte Integral des natÃ¼rlichen Logarithmus erhÃ¤lt man mit partieller Integration: <math>int{ln{x}
	mathrm{d}x} = xln{x}-x<math> [Bearbeiten]
Komplexer Logarithmus
	Bild nicht gefunden Betrag von ln(z) Bild nicht gefunden Realanteil von ln(z) Bild nicht gefunden ImaginÃ¤ranteil von ln(z) Analog zur reellen Definition heiÃŸt jede komplexe Zahl w mit <math>e^{w} = z<math> ein natÃ¼rlicher Logarithmus von z
	Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig
	kann man Eindeutigkeit erreichen
	so ist auch <math>w = w_{0} + 2kpi i<math> ein Logarithmus von z: <math>e^{w} = e^{w_{0} + 2kpi i} = e^{w_{0}} cdot e^{2kpi i} = e^{w_{0}} cdot 1 = e^{w_{0}} = z<math> Indem man <math>w<math> auf einen Streifen
	z.B. <math>left{w in mathbb{C}: -pi < Im{(w)} leq pi right}<math> einschrÃ¤nkt
	da gilt: <math>e^{2kpi i} = 1
	k in mathbb{Z}<math> Ist also <math>w_{0}<math> ein Logarithmus von <math>z<math>
	Dieses <math>w<math> heiÃŸt Hauptwert des Logarithmus und man schreibt <math>w = ln{(z)}<math>
	k in mathbb{Z} <math> FÃ¼r k = 0 hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus: <math>ln{(z)} = ln{\|z\|} + iarg{(z)}<math> ln(z) ist nicht stetig auf <math>mathbb{C} setminus {0}<math>
	so erhÃ¤lt man den k-ten Zweig der Logarithmusfunktion: <math>w = ln{\|z\|} + iarg{(z)} + 2kpi i
	Stellt man z in Polarkoordinaten dar
	Entfernt man jedoch die negative reelle Achse
	so ist ln(z) auf <math>mathbb{C} setminus {x in mathbb{R}: x leq 0}<math> stetig und sogar holomorph
	Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen
	reellen Zahlen bestimmen: <math>ln{(-x)} = ln{\|-x\|} + iarg{(-x)} = ln{(x)} + ipi
	x in mathbb{R}^{+}<math> Man muss jedoch beachten
	dass im komplexen die Rechenregeln fÃ¼r Logarithmen nicht immer gelten: <math>ln{x} + ln{y} neq ln{(x cdot y)}<math> Beispiel: <math>ln{(-1)} + ln{(-1)} = 2pi i neq 0 = ln{1} = ln{((-1) cdot (-1))}<math> <math>y cdot ln{x} neq ln{x^y}<math> Beispiel: <math>2pi i cdot ln{(e)} = 2pi i neq 0 = ln{1} = ln{(e^{2pi i})}<math> [Bearbeiten]
Anwendungen des Logarithmus
	Bild nicht gefunden Nautilusschnecke zeigt einen Logarithmus Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft
	wenn der Wertebereich viele GrÃ¶ÃŸenordnungen umfasst
	oder die Einheiten selbst
	wie Berechnung der Anzahl der Stellen
	Daten werden entweder direkt mit einer logarithmischen Skala dargestellt
	die zur Darstellung einer Zahl benÃ¶tigt werden
	Als Basis des Logarithmus wird dient Basis des Zahlensystems (z.B
	10
	zugeordnet ist. (Siehe auch "bit" im nÃ¤chsten Punkt.) bit = Informationseinheit = Messung der Informationsmenge. pH-Wert (SÃ¤urewert von chemischen LÃ¶sungen) (Anmerkung: In der Chemie kann man logarithmische Skalen i
	deren LÃ¤nge berechnet werden soll
	dem die Zahl
	2
	8 oder 16)
	A. am vorangestellten p erkennen
	z.B. beim pKs- oder pKb-Wert) dB (Dezibel) z.B
	so z.B das Wachstum von SchneckenhÃ¤usern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume. Die Empfindlichkeit von Sinnesorganen folgt dem logarithmischen Weber-Fechner-Gesetz der Psychophysik
	die ein logarithmisches MaÃŸ der tatsÃ¤chlichen StrahlungsstÃ¤rke darstellt. Zeitskalen werden vom Menschen logarithmisch wahrgenommen
	Messung von LautstÃ¤rke
	wonach eine Vervielfachung der ReizstÃ¤rke nur eine lineare Zunahme des wahrgenommenen Reizes bewirkt. Sternhelligkeiten werden in astronomischen GrÃ¶ÃŸenklassen angegeben
	elektronischer DÃ¤mpfung In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen
	dass sich - zumindest subjektiv in den letzten 100 Jahren ebensoviel ereignet hat wie in den 900 Jahren zuvor
	Das bedeutet
	wie z.B. einfachlogarithmisches Papier oder doppeltlogarithmisches Papier. [Bearbeiten]
	Logarithmische Zeitskalen finden sich in der Geschichte der Technologie ebenso wie in der geologischen Zeitskala. Zur graphischen Darstellung von bestimmten mathematischen Funktionen werden spezielle mathematische Papiere verwendet
Exponential- und logarithmische Gleichungen
	Der Begriff des Logarithmus erlaubt die LÃ¶sung von Aufgabenstellungen
	die bei Wachstums- oder Zerfallsprozessen typischerweise auftreten. [Bearbeiten]
Weblinks
	Logarithmusrechner mit Quelltext (http://www.fh-kaernten.ac.at/%7Epester/scripts/Logarithmus1.htm) Logarithmen (http://www.madeasy.de/2/log.htm) bg:Ð›Ð¾Ð³Ð°Ñ€Ð¸Ñ‚ÑŠÐ¼ en:Logarithm es:Logaritmo fr:Logarithme it:Logaritmo ja:å¯¾æ•° la:Logarithmus nl:Logaritme pl:Logarytm pt:Logaritmo ru:Ð›Ð¾Ð³Ð°Ñ€Ð¸Ñ„Ð¼

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Der Logarithmus als Umkehrfunktion des Potenzierens

Der Logarithmus als GrÃ¶ÃŸenmaÃŸstab

Logarithmengesetze

Logarithmen von Produkten

Logarithmen von Quotienten

Logarithmen von Wurzeln

Der Logarithmus als Rechenhilfe

NatÃ¼rlicher und andere spezielle Logarithmen

Berechnung des Logarithmus, Potenzreihe

Der Logarithmus von Null und den negativen Zahlen

Basisumrechnung

Beispiel

Programmiersprachen

Rechenregeln mit Beispiel

Ableitung und Integral des Logarithmus

Komplexer Logarithmus

Anwendungen des Logarithmus

Exponential- und logarithmische Gleichungen

Weblinks