Laurent-Reihe

Stichpunkte

Allgemein
	aber zusätzlich mit negativen Exponenten
	en:Laurent series Die Laurentreihe (nach Pierre Alphonse Laurent) ist eine unendliche Reihe ähnlich zu einer Potenzreihe
	Allgemein hat eine Laurentreihe in x mit Entwicklungspunkt c diese Gestalt: <math>f(x) = sum_{n=-infty}^infty a_n (x-c)^n<math> Dabei sind die an und das c meist komplexe Zahlen
	die im Abschnitt "Formale Laurentreihen" beschrieben sind
	es gibt aber auch andere Möglichkeiten
	Für komplexe Laurentreihen benutzt man meist die Variable z statt x
	die eigentlich unendlich viele Nullen hinter den letzten Ziffern haben.) Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den Hauptteil der Laurentreihe
	in denen ak = 0 ist
	Summanden
	die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den Nebenteil
	deshalb muss nicht jede Laurentreihe in beide Richtungen ins Unendliche gehen. (Wie es auch bei Potenzreihen gehandhabt wird
	werden meist nicht mitgeschrieben
	und ähnlich zur Darstellung abbrechender Dezimalbrüche
	Eine Laurentreihe ohne Hauptteil (Terme mit negativem Exponent) ist eine Potenzreihe
	hat sie außerdem nur endlich viele Terme mit positivem Exponenten
	dann ist sie ein Polynom
	Hat eine Laurentreihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent)
	dann nennt man sie ein Laurent-Polynom. [Bearbeiten]
Beispiele
	Betrachte die Funktion f(x) = exp(-1/x2) mit f(0):=0
	Als reelle Funktion ist f unendlich oft differenzierbar
	als komplexe Funktion ist sie jedoch in x = 0 nicht differenzierbar
	Indem man nun -1/x2 in die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion einsetzt
	erhält man die die Laurentreihe von f mit Entwicklungspunkt 0: <math>f(x) = sum_{j=0}^infty (-1)^jfrac{x^{-2j}}{j!}<math> Sie konvergiert für jede komplexe Zahl x außer für x = 0 (wo bereits die Summanden nicht definiert sind)
	wie sich die Partialsummenfolge <math>f_n(x) = sum_{j=0}^n (-1)^jfrac{x^{-2j}}{j!}<math> an die Funktion annähert (die Kurve für n = ∞ ist f selbst). [Bearbeiten]
	Das nachfolgende Bild zeigt
Konvergenz von Laurentreihen
	Laurentreihen sind wichtige Hilfsmittel der komplexen Analysis
	vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit Singularitäten
	Laurentreihen beschreiben komplexe Funktionen
	die auf einem Kreisring holomorph sind
	die auf einem Kreis holomorph sind
	so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben
	Sei <math>sum_{n=-infty}^infty a_n (z-c)^n<math> eine Laurentreihe in z mit komplexen Koeffizienten an und Zentrum c
	Dann gibt es zwei eindeutig bestimmte Zahlen r und R
	so dass folgendes gilt: Die Laurentreihe konvergiert auf dem offenen Kreisring A := {z : r < |z - c| < R}
	Damit meint man
	dass sowohl die Reihe der Terme mit positiven Exponenten als auch die Reihe der Terme mit negativen Exponenten konvergieren
	Diese Konvergenz ist gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge von A
	Die Laurentreihe definiert auf A eine holomorphe Funktion f(z). Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurentreihe
	in die f(z) nicht holomorph fortgesetzt werden kann. Es ist möglich
	außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt
	dass r = 0 und R = ∞ ist
	dass r = R ist
	es kann aber auch sein
	{z : r > |z - c| oder |z - c| > R}
	dass für jeden Punkt im Äußeren von A
	Das heißt
	die Reihe der Terme mit positiven oder die Terme mit negativen Exponenten divergiert. Auf dem Rand des Kreisrings kann man keine allgemeinen Aussagen machen
	Die beiden Radien können so berechnet werden: <math>r = limsup_{ntoinfty} |a_{-n}|^{1/n}<math> <math>1/R = limsup_{ntoinfty} |a_n|^{1/n}<math> Man setzt R = ∞
	falls die zweite Formel 1/R = 0 ergeben sollte
	Umgekehrt kann man mit einem Kreisring A = {z : r < |z - c| < R} und einer auf A holomorphen Funktion f beginnen
	die (mindestens) auf A konvergiert und dort mit f übereinstimmt
	Dann existiert immer eine Laurentreihe mit Entwicklungsstelle c
	also der einer holomorphen Funktion f auf einer gelochten Kreisscheibe um c
	Der Fall r = 0
	ist besonders wichtig
	Der Koeffizient a-1 der Laurentreihenentwicklung von f heißt Residuum von f in der Singularität c
	er spielt eine große Rolle im Residuensatz. [Bearbeiten]
Formale Laurentreihen
	Formale Laurentreihen sind Laurentreihen in der Unbestimmten X
	die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden
	Die Koeffizienten ak können dann aus einem beliebigen kommutativen Ring K stammen
	und die Entwicklungsstelle c auf 0 festzulegen
	In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll
	Laurentreihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten (also mit einem so genannten endlichen Hauptteil)
	wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen
	Zwei solche formale Laurentreihen sind per Definition genau dann gleich
	wie man es mit Potenzreihen macht)
	und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben
	Zwei Laurentreihen werden addiert
	indem man ihre entsprechenden Koeffizienten addiert
	können sie durch Faltung ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden (man multipliziert sie einfach formal aus
	der mit K((X)) bezeichnet wird
	Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurentreihen über einem kommutativen Ring K zu einem kommutativen Ring
	dann bilden die formalen Potenzreihen in der Unbestimmten X über K einen Integritätsring
	Ist K ein Körper
	der mit K[[X]] bezeichnet wird
	Sein Quotientenkörper ist isomorph zum Körper K((X)) der Laurentreihen über K.

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