Injektivität

Stichpunkte

Allgemein
	Injektivität (injektiv oder linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion
	dass keine zwei verschiedenen Elemente auf das Gleiche abgebildet werden
	Sie bedeutet
	d.h. eine Funktion in beide Richtungen eindeutig ist
	Eine injektive Funktion ist also (als Relation gesehen) links- und rechtseindeutig
	so dass injektive Funktionen im Allgemeinen keine Umkehrfunktion haben
	bzw. die Umkehrfunktion nicht vollständig definiert ist. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Definition 2 Beispiele und Gegenbeispiele 3 Geschichte 4 Verwandte Attribute [Bearbeiten]
	Im Unterschied zu einer bijektiven Abbildung ist dabei nicht unbedingt jedem Element der Wertemenge ein Wert des Definitionsbereichs zugeordnet (die Bildmenge ist also i.A. kleiner als die Wertmenge)
Definition
	also ein Bild hat nur jeweils ein Urbild
	sowie f eine Abbildung von X nach Y. f ist injektiv
	x2 aus X und y aus Y gilt: wenn f(x1) = y und f(x2) = y
	wenn für alle x1
	Seien X und Y Mengen
	dann x1 = x2
	wenn für alle y aus Y höchstens ein x aus X mit f(x) = y existiert. Äquivalent: f ist injektiv
	y in Y Rightarrow x_1=x_2<math> Beispiele in unterschiedlicher Darstellungsform Mengenkastendarstellung. Mengenkastendarstellung. Mengenwolkendarstellung.   [Bearbeiten]
	x_2 in X | f(x_1)=y wedge f(x_2)=y
	Formal: <math>forall x_1
Beispiele und Gegenbeispiele
	ist "injektiv". Bezeichne <math>mathbb{R}<math> die reellen Zahlen und <math>mathbb{S}<math> das Intervall [0
	Unmathematisches Beispiel: die "Funktion"
	∞[
	die jedem Bürger der Bundesrepublik Deutschland die Nummer seines Personalausweises zuordnet
	nicht surjektiv
	dass die Frage
	bijektiv Man beachte
	ob eine Funktion <math>f<math> injektiv ist
	nicht surjektiv
	nicht bijektiv f4 injektiv
	y): f(x)=y }<math> abhängt. (Siehe dazu auch surjektiv.) [Bearbeiten]
	f2(x) = x² f3: <math>mathbb{R}rightarrowmathbb{S}<math>
	nicht bijektiv f3 nicht injektiv
	surjektiv
	f1(x) = x² f2: <math>mathbb{S}rightarrowmathbb{R}<math>
	nur vom Funktionsgraphen <math>{ (x
	nicht bijektiv f2 injektiv
	surjektiv
	Gegeben seien die Funktionen f1: <math>mathbb{R}rightarrowmathbb{R}<math>
	f3(x) = x² f4: <math>mathbb{S}rightarrowmathbb{S}<math>
	f4(x) = x² Dann ist f1 nicht injektiv
Geschichte
	kam erst in der Mitte des 20sten Jahrhunderts mit der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf
	Nachdem man generationenlang mit Formulierungen wie "eineindeutig" ausgekommen war
	Wahrscheinlich wurde das Wort "injektiv" ebenso wie "bijektiv" und "surjektiv" in den 1930ern von N
	Bourbaki geprägt
	Als frühester Gebrauch im Englischen wird genannt [1] (http://members.aol.com/jeff570/mathword.html): Das Substantiv "Injektion" wurde 1950 von S
	das Adjektiv "injektiv" 1952 in den Foundations of algebraic topology von Eilenberg und Steenrod eingeführt. [Bearbeiten]
	MacLane
Verwandte Attribute
	Bijektivität bg:ИнекциÑ? en:Injective function es:Función inyectiva fr:Injection it:Funzione iniettiva ja:å?˜å°„ nl:injectie (wiskunde) pl:Funkcja różnowartoÅ›ciowa sv:Injektiv
	Surjektivität

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