Imaginäre Einheit

Stichpunkte

Allgemein
	nennt man die imaginäre Einheit
	Die komplexe Zahl
	deren Realteil 0 (Null) und Imaginärteil 1 (Eins) ist
	In der Paarschreibweise wird sie als (0
	1) dargestellt
	Algebraisch wird sie mit i (in der Elektrotechnik mit j) abgekürzt
	0) + (0
	0) + (b
	wird eine in Paarschreibweise dargestellt komplexe Zahl in Real- und Imaginärteil zerlegt: <math>(a
	die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen wie die der reellen Zahlen durchzuführen
	0)cdot(0
	1) = a + bmathrm{i}<math>. Die Darstellung in der Form a + bi erlaubt es
	b) = (a
	b) = (a
	Um die aus den reellen Zahlen gewohnten Schreibweisen und Rechenregeln beibehalten zu können
	dass das neu eingeführte Symbol i die Eigenschaft i2 = -1 besitzt
	Die einzige neue Rechenregel ist
	Die ebenfalls für i benutzte Bezeichnung "Quadratwurzel aus -1" scheint mit den gewohnten Rechenregeln widersprüchlich
	da -i ebenfalls eine Quadratwurzel aus -1 zu sein scheint
	Auch würde eine solche Bezeichnung die folgenden paradoxalen Gleichungen implizieren: <math>-1 = mathrm{i} cdot mathrm{i} = sqrt{-1} cdot sqrt{-1} = sqrt{-1 cdot -1} = sqrt{1} = 1<math> Aber: <math>mathrm{i} cdot mathrm{i} = sqrt{-1} cdot sqrt {-1} = (sqrt{-1})^2 = -1<math> Dieses obige Beispiel verdeutlicht
	dass nicht alle üblichen Rechenregeln im Bereich der komplexen Zahlen angewendet werden können
	dann ist <math>sqrt{-1}=i<math>! Die Aussage <math>sqrt{-1}=i<math> ist also im Bereich der komplexen Zahlen durchaus korrekt
	Man kann dies auch mittels der trigonometrischen Darstellung beweisen: Die Moivre-Formel besagt: <math>z^n=r^n (cos (ncdotvarphi)+i sin (ncdotvarphi))<math> (Diese Regel gilt für alle n aus R.) Bei <math>z^1<math> ergibt sich: <math>z^1=1 (cos (180^circ)+i sin (180^circ))=-1<math> Bei <math>sqrt{z}=z^frac{1}{2}<math> ergibt sich: <math>z^frac{1}{2}=1^frac{1}{2} (cos (90^circ)+i sin (90^circ))=1 (0+icdot1)=i<math> Wenn aber z=-1 ist und <math>sqrt{z}=i<math>
	Siehe auch: Imaginäre Zahl en:Imaginary unit et:Imaginaarühik nl:imaginaire eenheid

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