Ikosaeder

Stichpunkte

Allgemein
	Das Ikosaeder (nach griech
	genauer: ein Polyeder (ein Vielflächner) mit zwanzig (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken als Flächen dreißig (gleich langen) Kanten und zwölf Ecken
	in denen jeweils fünf Flächen zusammentreffen Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken
	Zwanzigflach) ist einer der fünf platonischen Körper
	Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Ikosaeder ein reguläres Polytop
	Es hat: sechs fünfzählige Drehachsen (durch gegenüber liegende Ecken) zehn dreizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Flächen) fünfzehn zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüber liegender Kanten) fünfzehn Symmetrieebenen (durch einander gegenüber liegende – und parallele – Kanten) und ist zentralsymmetrisch (Punktspiegelung am Mittelpunkt des Polyeders) Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Ikosaeders – die Ikosaeder- oder Dodekaedergruppe – 120 Elemente
	Die Symmetrie des Ikosaeders ist (wegen der bei ihm auftretenden fünfzähligen Symmetrie) mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich
	Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (vgl. jedoch Quasikristalle)
	die ebenfalls die Ikosaedergruppe als Symmetriegruppe haben
	Das Dodekaeder ist das zum Ikosaeder duale Polyeder (und umgekehrt). Mit Hilfe von Ikosaeder und Dodkaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden
	So erhält man zum Beispiel ein abgestumpftes Ikosaeder mit 20 Sechsecken und 12 Fünfecken (man erhält es auch
	indem man die Ecken eines Ikosaeders abstumpft) (ähnlich einem Fußball
	siehe auch Fulleren) ein Ikosidodekaeder mit 20 Dreiecken und 12 Fünfecken ein abgestumpftes Dodekaeder mit 20 Dreiecken und 12 Zehnecken als Durchschnitte eines Ikosaeders mit einem Dodekaeder (siehe archimedische Körper) und ein Rhombentriakontaeder mit 20+12 = 32 Ecken und 30 Rhomben als Flächen als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Ikosaeders mit einem Dodekaeder. [Bearbeiten]
Zur Struktur des Ikosaeders
	zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. (Die Längen der Seiten dieser Rechtecke entsprechen dem Goldenen Schnitt
	weil sie Seiten bzw
	Wie die untenstehende Graphik zeigt
	dass diese Paare drei kongruente
	kann man unter den Kanten des Ikosaeders drei Paare gegenüber liegender (also insgesamt sechs) Kanten so auswählen
	frac{5}{12} cdot left( 3 + sqrt{5} right) cdot a^3 approx 2{
	während jede Fläche zweimal in der Fläche eines umschriebenen Oktaeders liegt. Die Symmetriegruppe des Ikosaeders bewirkt alle 5!=120 Permutationen dieser fünf Positionen. Die Kanten des Ikosaeders enthalten 12 ebene Fünfecke
	approx 0{
	a cdotfrac{1}{12} sqrt{3} left(3 + sqrt{5} right) approx 0{
	}181694991 cdot a^3<math> Inhalt der Oberfläche <math>A_O
	die in den Flächen eines – dem Ikosaeder umschriebenen – Oktaeders liegen
	Diagonalen regelmäßiger Fünfecke sind.) Das Ikosaeder kann daher so in einen Würfel eingeschrieben werden
	dass diese sechs Kanten in den sechs Flächen des Würfels liegen und parallel zu den Kanten des Würfels sind. Die 12 restlichen Kanten begrenzen 8 Dreiecke (unter den 20 Flächen des Ikosaeders)
	a cdot frac{1}{4} sqrt{10 + 2 sqrt{5}} approx 0{
	wobei jede Kante des Ikosaeders zu genau einer solchen Gruppe von orthogonalen Kantenpaaren gehört
	=
	}605461383
	und jede Ecke zu fünf. (Man kann diese Eigenschaft zum Bau eines Drahtmodells benützen.) Formeln zum Ikosaeder Volumen <math>V
	wobei die Ecken des Ikosaeders auf dessen Kanten liegen. Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen
	}660254038 cdot a^2<math> Umkugelradius <math>r_u
	}9510565163 cdot a<math> Inkugelradius <math>r_i
	<math> Herleitungen: http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/ikosa.html [Bearbeiten]
	5 cdot sqrt{3} cdot a^2 approx 8{
	=
	=
	=
	wobei jede Kante zu zwei dieser Fünfecke gehört
	}7557613141 cdot a<math> V : VUmkugel <math> = frac{ sqrt{2}}{2} sqrt{5 + sqrt{5}} : pi
Anwendungen
	haben eine ikosaedrische Form
	Viele Viren
	darunter HIV
	Das ist dadurch zu erklären
	dass Viren möglichst klein sein müssen
	weil das Ikosaeder von allen regelmäßigen Polyedern mit gegebenem Durchmesser das größte Volumen besitzt. ca:Icosàedre da:Ikosaeder en:Icosahedron es:Icosaedro it:Icosaedro ja:正二å??é?¢ä½“ nl:Icosaëder pl:DwudziestoÅ›cian foremny
	Die Ikosaederform ist in dieser Hinsicht optimal

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