Diskrete Kosinustransformation

Stichpunkte

Allgemein
	welche ähnlich der Diskreten Fouriertransformation ein zeitdiskretes Signal vom Orts- in den Frequenzbereich transformiert
	Die Diskrete Kosinustransformation (DCT) ist eine lineare
	orthogonale Transformation
	1974 wurde sie erstmals von Ahmed
	Natarajan und Ray erwähnt
	sondern mit reellen Koeffizienten. Die DCT kann sowohl in Software als auch in Hardware effizient implementiert werden. Ãœber die Verwendung von DSPs bzw
	Seit diesem Zeitpunkt ist sie die am weitesten verbreitete Transformation zur Redundanzreduktion von Bildsignalen. Gründe für diese Präferenz: Die DCT transformiert Bilddaten effektiv in eine Form
	die gut komprimiert werden kann. Im Gegensatz zur DFT rechnet man bei der DCT nicht mit komplexen
	MACs lässt sich die DCT-Berechnung dementsprechend stark beschleunigen. Im Folgenden werden die Abkürzungen FDCT für "forward discrete cosine transform" und IDCT für "inverse discrete cosine transform" verwendet. Bild nicht gefunden 2-Dimensionale FDCT und IDCT [Bearbeiten]
Berechnung der zweidimensionalen (2D) FDCT
	Um Korrelation in horizontaler und vertikaler Bildrichtung zu erfassen
	wird die zweidimensionale Variante der FDCT benutzt
	Zu diesem Zweck wird das Bild wie im Standard beschrieben in Blöcke von 8 x 8 Bildpunkten zerlegt
	Fx
	y) und C(x)
	j die 64 Punkte (i
	C(y) sind die Konstanten: <math> C(n)=left{ begin{matrix} &frac{1}{sqrt2}
	j}cosleft(frac{(2i+1)cdot xcdotpi}{16}right)cdotcosleft(frac{(2j+1)cdot ycdotpi}{16}right) <math> In dieser Gleichung sind fi
	y}=frac{C(x)cdot C(y)}{4}cdotsum_{i=0}^7sum_{j=0}^7 f_{i
	Die folgende Gleichung beschreibt die zweidimensionale FDCT für einen 8 x 8 Block eines Bildes. <math> F_{x
	&&n&=0\ &1
	y sind die 64 DCT Koeffizienten (x
	&&n&neq0 end{matrix} right. <math> Anschaulich ist dieser Vorgang in der ersten Abbildung dargestellt
	j) des Eingangsblocks
	auch genannt Basisfunktionen
	Die FDCT repräsentiert jeden Block eines Bildausschnittes durch gewichtete Summen von 2-D-Kosinusfunktionen
	In der Abbildung rechts (fehlt weil copyright!) sind diese Funktionen als 8 x 8 Pixel Basismuster dargestellt
	Das Muster links-oben hat die niedrigste "Frequenz" und ist nur ein Einheitsblock
	Von links nach rechts nimmt die Anzahl der "Zyklen" zwischen hell und dunkel in horizontaler Richtung zu
	Diese "Zyklen" repräsentieren horizontal zunehmende räumliche Frequenz
	Von oben nach unten nimmt hingegen die Anzahl der "Zyklen" zwischen hell und dunkel in vertikaler Richtung zu
	Folglich nehmen sowohl die horizontalen als auch die vertikalen Frequenzen in diagonaler Richtung gleichzeitig zu
	Zur Rekonstruktion der Bildpunkte eines Blocks werden diese 64 Basismuster mit dem jeweiligen Gewichtungsfaktor multipliziert und dann addiert
	Dieser Faktor entspricht dem jeweiligen DCT-Koeffizienten Fx
	y [Bearbeiten]
Berechnung der zweidimensionalen (2D) IDCT
	Die IDCT rekonstruiert einen Block mit Bildpunkten aus einem Datenfeld mit DCT-Koeffizienten
	Als Eingang bedient sich die IDCT eines Blocks von 8 x 8 DCT-Koeffizienten Fx
	y}cdotcosleft(frac{(2i+1)cdot xcdotpi}{16}right)cdotcosleft(frac{(2j+1)cdot ycdotpi}{16}right) <math> Die Konstanten C(y) und C(x) sind dieselben wie für die FDCT. Bild nicht gefunden DCT-Koeffizienten Wie aus der Abbildung rechts ersichtlich kann mit relativ guter Genauigkeit aus sechs Koeffizienten das Originalbild rekonstruiert werden
	y und rekonstruiert dann nach folgender Gleichung den Block aus den Bildpunkten fi
	j}=sum_{x=0}^7sum_{y=0}^7frac{C(x)cdot C(y)}{4}cdot F_{x
	j. <math> f_{i
	0) wird mit einer Gewichtung von 967.5 multipliziert und mit der IDCT transformiert
	Der erste Koeffizient (0
	denn er gibt den durchschnittlichen Grauwert oder "Schatten" des Blocks an
	Dieser Koeffizient ist meist der wichtigste
	In diesem Fall wird der oben beschriebene Vorgang noch fünfmal für die weiteren DCT-Koeffizienten wiederholt
	kann man die meisten Blöcke mit einer geringen Anzahl von DCT-Koeffizienten rekonstruieren. [Bearbeiten]
	wie in diesem Beispiel
	relativ niedrig ist
	Da in den meisten Fällen die Gewichtung der anderen DCT-Koeffizienten
Literatur
	Ahmet
	N.
	Natarajan T. und Rao K
	R.: Discrete cosine transform
	IEEE Trans
	Ian E
	Computers
	Januar 1974 Richardson
	G.: Video Codec Design
	2002
	LTD
	John Wiley & Sons
	ISBN 0-471-48553-5 en:Discrete cosine transform fr:Transformée en cosinus discret ko:�산 코사� 변환 pl:Dyskretna transformata kosinusowa

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