Hyperreelle Zahl

Stichpunkte

Allgemein
	In der Mathematik sind Hyperreelle Zahlen ein Untersuchungsgegenstand der Nichtstandardanalysis
	Die Menge der hyperreellen Zahlen wird meist als *R geschrieben; sie erweitert die reellen Zahlen um ihre infinitesimal benachbarten Zahlen sowie um unendlich große (infinite) Zahlen
	Als Newton und Leibniz ihre Differentialrechnung mit "Fluxionen" durchführten
	und noch Euler und Cauchy fanden sie nützlich
	benutzten sie infinitesimale Zahlen
	Weierstraß und andere auf eine solide Grundlage gestellt
	Trotzdem wurden diese Zahlen von Anfang an skeptisch betrachtet
	und in den 1800ern wurde die Analysis durch die Einführung der epsilon-delta-Definition des Grenzwertes durch Cauchy
	Infinitesimale Zahlen wurden von da an nicht mehr benutzt
	Abraham Robinson zeigte dann in den 1960ern
	auf welche Weise unendlich große und kleine Zahlen streng formal definiert werden können und eröffnete so das Gebiet der Nichtstandard-Analysis
	insbesondere vom Auswahlaxiom
	macht
	Da Robinsons Theorie in seiner strengsten Form umfassenden Gebrauch von der klassischen Logik und der Mengenlehre
	wird sie als nichtkonstruktiv angesehen
	Die hier gegebene Konstruktion ist eine (immer noch nichtkonstruktive) vereinfachte Version
	die zuerst von Lindstrom gegeben wurde
	Durch die hyperreellen Zahlen ist eine Formulierung der Differential- und Integralrechnung ohne den Grenzwertbegriff möglich
	"Verbergen") 1 Eigenschaften 2 Konstruktion 3 Infinitesimale und unendlich große Zahlen 4 Weblinks [Bearbeiten]
	Eine weitere Klasse von Nichtstandard-Zahlen ist die echte Klasse der surrealen Zahlen
	sondern auch die hyperreellen Zahlen und alle Ordinalzahlen enthält. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	die nicht nur die reellen
Eigenschaften
	der R als Teilkörper enthält
	Die hyperreellen Zahlen *R bilden einen geordneten Körper
	Im Gegensatz zu den reellen Zahlen bilden die hyperreellen Zahlen keinen metrischen Raum
	doch aufgrund ihrer Ordnung tragen sie eine Ordnungstopologie
	Eine logische Aussage der Prädikatenlogik erster Stufe heißt im Kontext der Nichtstandard-Analysis wohlgeformt
	wenn sie nur bestimmte grundlegende Verknüpfungen (Grundrechenarten
	Vergleich) und natürliche Zahlen enthält und nur über reelle Zahlen quantifiziert (siehe Allquantor
	Existenzquantor; insbesondere darf sie nicht über Elemente einer echten Teilmenge von R oder über Mengen von reellen Zahlen quantifizieren)
	dass jede wohlgeformte Aussage auch zutrifft
	wenn man sie über hyperreelle Zahlen quantifiziert
	Die hyperreellen Zahlen sind auf eine solche Weise definiert
	Zum Beispiel können wir sagen
	dass R und *R sich genau gleich verhalten
	dass man eine größere Zahl erhält
	wenn man 1 zu einer reellen Zahl addiert: &lt;math&gt;forall x in mathbb{R}: x < x+1&lt;math&gt; Dasselbe gilt für hyperreelle Zahlen: &lt;math&gt;forall x in {}^*mathbb{R}: x < x+1&lt;math&gt; Das heißt nun nicht
	dass für jede reelle Zahl eine größere Zahl existiert: &lt;math&gt;forall x in mathbb{R}: exists y in mathbb{R}: x < y&lt;math&gt; Dieselbe Aussage trifft dann auch für hyperreelle Zahlen zu: &lt;math&gt;forall x in {}^*mathbb{R}: exists y in {}^*mathbb{R}: x < y&lt;math&gt; Ebenso kann man aussagen
	1+1+1 &lt; w
	... Eine solche Zahl gibt es in R nicht
	1+1 &lt; w
	Zum Beispiel gibt es in *R ein Element w mit der folgenden Eigenschaft: 1 &lt; w
	1+1+1+1 &lt; w
	Dieser Unterschied ist möglich
	denn diese Formel quantifiziert über N
	da die angegebene Eigenschaft &lt;math&gt;forall n in mathbb{N}: n < w&lt;math&gt; nicht durch eine wohlgeformte Formel ausdrückbar ist
	Eine hyperreelle Zahl wie w nennt man infinit
	der Kehrwert einer unendlich großen Zahl ist eine infinitesimale Zahl
	die sich nicht auf die hyperreellen überträgt
	Eine weitere Eigenschaft der reellen Zahlen
	ist die Dedekind-Vollständigkeit: Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von R hat eine obere Grenze
	Diese Forderung charakterisiert die Menge der reellen Zahlen eindeutig: Jeder Dedekind-vollständige Körper ist isomorph zu R
	Für die reelle Teilmenge M sei M+ = { x in R&nbsp;: x ≥ b für alle b in M }
	sondern auch über Mengen reeller Zahlen quantifiziert (M ⊆ R). [Bearbeiten]
	c in M^+: b le s
	Dann lässt sich die Dedekind-Vollständigkeit so formalisieren: &lt;math&gt; forall M subset mathbb{R}
	weil sie nicht nur über reelle Zahlen
	a in M: exists s in mathbb{R}: forall b in M
	s le c &lt;math&gt; Diese Aussage ist nicht auf hyperreelle Zahlen übertragbar
Konstruktion
	Wir konstruieren die hyperreellen Zahlen als Folgen reeller Zahlen
	Auf diese Weise können wir sofort die reelle Zahl r mit der Folge (r
	...) identifizieren
	r
	r
	... )
	andere könnten kleiner sein als die entsprechenden Einträge der zweiten Folge
	... )
	4
	π
	4
	a2
	a2 + b2
	... ) = 4. Für jede Folge a = (a0
	...) + (b0
	π
	a2
	π
	...) gilt dann z.B. a+a = 2·a. Wir möchten diese Folgen vergleichen
	3
	1
	...) Analog definieren wir die Multiplikation. zum Beispiel ist dann 1+3 = ( 1
	...) = (a0 + b0
	3
	1
	π = ( π
	1
	1+3
	1 = ( 1
	b2
	1
	... ). Die Rechenoperationen definieren wir gliedweise: (a0
	1+3
	a1 + b1
	0
	b1
	1
	3
	4
	1
	1+3
	... ) = ( 4
	Zum Beispiel haben wir 0 = ( 0
	...) = ( 1+3
	...) + ( 3
	0
	0
	a1
	a1
	geraten aber schnell in Schwierigkeiten: Einige Einträge der ersten Folge könnten größer
	Wir müssen angeben
	welche Positionen "eine Rolle spielen"
	Betrachten wir z.B. die Folgen a = ( 1; 0
	ebenso die Folgen c und d
	1; 0
	001; 0
	01; 0
	0001; ...) b = ( 0; 2; 0
	001; 0
	0001; ...) c = ( 0; 1; 1; 1; 1; ...) d = ( 1; 0; 1; 1; 1; ...) Die Folgen a und b unterscheiden sich nur an den ersten zwei Einträgen
	01; 0
	und c und d gleichzusetzen
	a und b gleichzusetzen
	Es ist daher sinnvoll
	Vergleichen wir a und c: Jede Komponente von a - außer der ersten - ist kleiner als die entsprechende Komponente von c
	Die Folge a sollte also kleiner sein als c
	wenn zwei Folgen sich nur an endlich vielen Stellen unterscheiden
	Allgemein spielt es keine Rolle
	Ein Problem bekommen wir dann bei Vergleich dieser beiden Folgen: e = ( 1; 0; 1; 0; 1; 0; ...) f = ( 0; 1; 0; 1; 0; 1; ...) Die Folge e ist an unendlich viele Stellen kleiner als f
	aber auch an unendlich vielen Stellen größer als f
	indem wir feststellen: Eine konsistente Angabe
	gibt ein freier Ultrafilter U auf den natürlichen Zahlen
	welche Positionen "eine Rolle spielen"
	Hier schafft die Theorie Abhilfe
	aber man kann zeigen
	dass die Wahl des Ultrafilters keine Rolle spielt)
	Ein solches U existiert nach dem Auswahlaxiom. (Genaugenommen existieren viele freie Ultrafilter
	Mit Hilfe von U können wir nun eine Ordnungsrelation definieren: (a0
	a1
	b2
	b1
	...) gdw. {n&nbsp;: an ≤ bn} in U. Dies liefert eine totale Präordnung auf der Menge der reellen Zahlenfolgen
	a2
	...) ≤ (b0
	die wir mit *R bezeichnen
	ist die Ordungsrelation nun eine totale Ordnung
	Definieren wir noch eine Äquivalenzrelation: a = b gdw. a ≤ b und b ≤ a. Auf der Menge der Äquivalenzklassen
	und wir haben somit den Körper der hyperreellen Zahlen konstruiert
	Addition und Multiplikation der Äquivalenzklassen sind wohldefiniert
	ob die Menge der geraden Stellen oder die Menge der ungeraden Stellen im Ultrafilter
	ist). [Bearbeiten]
	also "wesentlich"
	Je nach Wahl des Ultrafilters erhalten wir 0 = e &lt; f = 1 oder 1 = e &gt; f = 0 als Anordnung von e und f (je nachdem
Infinitesimale und unendlich große Zahlen
	aber größer als jede negative reelle Zahl
	wenn sie kleiner ist als jede positive reelle Zahl
	Eine hyperreelle Zahl e heißt infinitesimal
	Die Zahl Null ist die einzige infinitesimale reelle Zahl
	aber es gibt andere hyperreelle infinitesimale Zahlen
	Die oben definierte Zahl a ist größer als 0
	aber kleiner als jede positive reelle Zahl (denn der Ultrafilter enthält alle Komplemente endlicher Mengen)
	wenn es eine natürliche Zahl n gibt mit -n &lt; x &lt; n
	anderenfalls heißt x unendlich
	Eine hyperreelle Zahl x heißt endlich
	Die Zahl A = ( 1; 10; 100; 1000; ...) ist eine infinite Zahl
	die größer ist als jede natürliche Zahl
	Beachte: Die Bezeichnung "unendlich groß" meint meist eine Zahl
	wie -A = ( -1; -10; -100; ...)
	die kleiner sind als jede ganze Zahl
	"unendlich" schließt aber auch Zahlen ein
	wenn 1/x infinitesimal ist
	Eine von 0 verschiedene Zahl x ist genau dann unendlich
	Z.B. ist A = 1/a. Es lässt sich zeigen
	dass jede endliche hyperreelle Zahl "sehr nah" an genau einer reellen Zahl liegt
	Genauer: Ist x eine endliche hyperreelle Zahl
	so dass x-st(x) infinitesimal ist
	dann gibt es genau eine reelle Zahl st(x)
	die Differenz zu x ist der Nichtstandardteil
	Die Zahl st(x) nennt man den Standardteil von x
	Die Abbildung st hat einige angenehme Eigenschaften: Für alle endlichen hyperreellen Zahlen x
	st(1/x) = 1/st(x) falls x nicht infinitesimal ist
	die Abbildung st ist stetig bzgl. der Ordungstopologie auf der Menge der endlichen hyperreellen Zahlen. Die ersten zwei Eigenschaften (und die Folgerung st(0)=0
	st(xy) = st(x) st(y)
	dass st ein Ring-Homomorphismus ist
	wenn x reell ist
	st(1)=1 aus der dritten Eigenschaft) besagen
	y gilt: st(x + y) = st(x) + st(y)
	st(x) = x genau dann
	99; 0
	Zum Beispiel ist die hyperreelle Zahl g = ( 0; 0
	999; ...) gliedweise kleiner als ( 1; 1; 1; 1; ...)
	also ist g &lt; 1
	9; 0
	Sie ist aber größer als jede reelle Zahl kleiner 1
	Sie ist daher zur 1 infinitesimal benachbart und 1 ist ihr Standardteil
	001; ...) = a. Beachte aber
	dass die reelle Zahl 0
	1; 0
	Ihr Nichtstandardteil (die Differenz zu 1) ist 1 - g = ( 1; 0
	999... als Grenzwert der Folge g gleich 1 ist. [Bearbeiten]
	01; 0
Weblinks
	Jordi Gutierrez Hermoso: Nonstandard Analysis and the Hyperreals (http://mathforum.org/dr.math/faq/analysis_hyperreals.html) -- Eine englische Einführung. en:Hyperreal number es:Números hiperreales fr:Nombre hyperréel ja:超準解�

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Hyperreelle Zahl aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.