Holomorphie

Glossar
· Hauptseite · Zufälliger Artikel · Portal liste
Diskussion
· Diskussion : Holomorphie
Webkatalog
· Übersicht · Eigene Artikel · Seite vorschlagen
Aktuelles
· Seite der Woche · Newsletter · Today in History · Kreuzworträtsel
Weitere Inhalte
· Einkaufsmeile · Begriffslexikon · Multimedia
Suche
· Geschi.de · nach Jahren · Weltchronik.de · Geschichtsreferate
Interna
· Seitenneuigkeiten · Hilfe zur Seite · Impressum

Jahres-Sprung
Jahreszahl eingeben: >Chronik2000-Homepage<

Holomorphie

Stichpunkte

Allgemein
	Holomorphie oder komplexe Differenzierbarkeit ist in der Funktionentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) eine Eigenschaft von Funktionen von komplexen Zahlen
	In der reellen Analysis kann man eine Funktion fÃ¼r einzelne Punkte ihres Definitionsbereiches auf die beiden folgenden Eigenschaften Ã¼berprÃ¼fen: Die Funktion ist an diesem Punkt differenzierbar. Die Funktion lÃ¤sst sich um diesen Punkt durch eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius darstellen. Im Gegensatz zur reellen Analysis gelten bei komplexwertigen Funktionen beide Eigenschaften immer gleichzeitig
	D. h. eine Funktion ist genau dann in z0 nach der komplexen Variablen z komplex differenzierbar
	wenn sie in z0 lokal in eine komplexe Potenzreihe entwickelbar ist
	Wenn eine komplexwertige Funktion in einem Punkt diese beiden Eigenschaften besitzt
	wird sie als holomorph in diesem Punkt bezeichnet
	Als Synonyme fÃ¼r den Begriff holomorph werden gelegentlich die Begriffe analytisch und regulÃ¤r gebraucht
	Als dritte und gleichwertige Eigenschaft fÃ¼r den Holomorphiebegriff kann man die lokale GÃ¼ltigkeit der Cauchyschen Integralformel heranziehen
	Viele wichtige Eigenschaften holomorpher Funktionen lassen sich direkt aus den obigen Bedingungen herleiten (beliebig oft differenzierbar
	...). Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	"Verbergen") 1 Holomorphie 2 Komplexe Differenzierbarkeit 3 Beispiele fÃ¼r holomorphe (komplex differenzierbare) Funktionen 4 Beispiele fÃ¼r nicht holomorphe (nicht komplex differenzierbare) Funktionen 5 Anmerkungen 5.1 n-fach differenzierbar? 5.2 Algebraische Eigenschaften 5.3 Ganze Funktionen [Bearbeiten]
	Darstellung der Taylorkoeffizienten
Holomorphie
	die U auf C abbildet
	Es sei U eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen C und h eine Funktion
	d. h. zu jedem Punkt z aus U existiert ein komplexer Funktionswert h (z)
	h ist in U holomorph
	Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig: 0: Die Funktion h ist in allen Punkten von U holomorph
	1: Die Funktion h ist in allen Punkten von U komplex-differenzierbar
	jeder Funktionswert von h zu einem inneren Punkt von K durch eine Potenzreihe um z0 darstellen
	2: Zu jedem Punkt z0 in U lÃ¤sst sich zu jeder abgeschlossenen Kreisscheibe K um z0
	die vollstÃ¤ndig in U liegt
	jeder Funktionswert von h zu einem inneren Punkt z von K durch ein Integral lÃ¤ngs des Randes R darstellen: <math>h (z) = frac{1}{2 pi i} cdot oint_R frac{h(zeta)}{zeta - z}
	3: Zu jedem Punkt z0 in U lÃ¤sst sich zu jeder abgeschlossenen Kreisscheibe K um z0 mit Rand R
	mathrm{d}zeta<math> 4: Die Pompeiu-Wirtinger-Ableitung nach <math>overline{z}<math> verschwindet auf <math>U<math>
	die vollstÃ¤ndig in U liegt
	das heiÃŸt: fÃ¼r alle <math>w in U<math> gilt: <math>frac{partial h}{partial overline{z}}(w):=frac{1}{2}(frac{partial h}{partial x}(w) - frac{partial h}{partial y}(w)) = 0<math> [Bearbeiten]
Komplexe Differenzierbarkeit
	y) darstellen
	Komplexe Zahlen lassen sich in der Form z = (x
	mit reellen Zahlen x und y
	Im Allgemeinen wird x als der Realteil
	y als der ImaginÃ¤rteil von z bezeichnet
	die Elemente des zweidimensionalen reellen Zahlenraumes <math>mathbb{R}^2<math> auf Elemente des zweidimensionalen reellen Zahlenraumes <math>mathbb{R}^2<math> abbildet
	die komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen abbildet
	Eine komplexwertige Funktion f
	kann daher im Sinne der reellen Analysis auch als Funktion aufgefaÃŸt werden
	FÃ¼r solche Funktionen kann die aus der Analysis bekannte reelle Differenzierbarkeit definiert sein
	Komplexe und reelle Differenzierbarkeit kÃ¶nnen sich unterscheiden
	In der Funktionentheorie wird komplexe Differenzierbarkeit i.A. fÃ¼r solche Funktionen definiert
	f eine Abbildung von U in <math>mathbb{C}<math>
	dann heiÃŸt f komplex differenzierbar in a
	wenn folgendes gilt: <math> f'(a) = lim_{w to 0}frac{f(a+w) - f(a)}{w}<math> Dabei wird vorausgesetzt
	a ein Element aus U
	dass w und w + a in U liegen
	die offene Mengen auf offene Mengen abbilden: U sei eine offene Teilmenge von <math>mathbb{C}<math>
	also im Definitionsbereich von f
	Der Limes auf der rechten Seite existiere fÃ¼r jedes a aus U
	die linke Seite wird dann als f'(a) definiert. <math>mathbb{C}<math> bezeichne die Menge der komplexen Zahlen
	Komplex differenzierbare Funktionen werden als holomorph (in Ã¤lterer Literatur als analytisch) bezeichnet
	wieder holomorph ist. f' heiÃŸt Ableitung von f
	Im Punkt a erfÃ¼llt die Funktion f die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Man kann zeigen
	die man auf diese Weise erhÃ¤lt
	dass die Funktion f'
	d.h. sie lÃ¤ÃŸt sich immer in eine Taylorreihe ohne Restglied entwickeln (dabei mÃ¼ssen nicht alle Koeffizienten von Null verschieden sein)
	Im Gegensatz zur reellen Differenzierbarkeit ist eine komplex differenzierbare Funktion beliebig oft differenzierbar
	Man kann zeigen
	d.h. sie bilden offene Mengen auf offene Mengen ab
	dass holomorphe Funktionen offene Abbildungen sind
	Hieraus folgt
	dass bijektive holomorphe Funktionen topologische Abbildungen sind (HomÃ¶omorphismus). [Bearbeiten]
Beispiele fÃ¼r holomorphe (komplex differenzierbare) Funktionen
	y) = (x
	y) f(z) = sin(z) f(z) = exp(z) [Bearbeiten]
	f(x
	f(z) = z
Beispiele fÃ¼r nicht holomorphe (nicht komplex differenzierbare) Funktionen
	y) = y [Bearbeiten]
	f(x
	y) = x f(z) = Im(z)
	nicht nur im Nullpunkt) f(z) = Re(z)
	f(z) = \|z\| (und zwar in keinem Punkt z
	f(x
Anmerkungen
	[Bearbeiten]
n-fach differenzierbar?
	In der reellen Analysis unterscheidet man
	wie oft eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist
	Beispielsweise ist f (x) = x Â· x Â· \|x\| fÃ¼r alle reelle Zahlen auÃŸer 0 beliebig oft differenzierbar
	diese kann jedoch nicht erneut differenziert werden
	Im Nullpunkt ist diese Funktion jedoch nur zweifach differenzierbar
	d. h. hier existiert zwar die zweite Ableitung von f
	Bei komplexwertigen Funktionen in C gilt dagegen: Die Ableitung einer holomorphen Funktion ist selbst ebenfalls wieder holomorph und kann damit immer erneut differenziert werden
	Bei einer komplexwertigen Funktionen f in C gilt fÃ¼r einen Punkt z des Definitionsbereiches: entweder: f ist in z nicht holomorph und damit Ã¼berhaupt nicht komplex-differenzierbar. oder: f ist in z holomorph und damit beliebig oft komplex-differenzierbar. [Bearbeiten]
Algebraische Eigenschaften
	Zu einer nichtleeren offenen Menge U sei H (U) die Menge aller in U holomorpher Funktionen
	Zu zwei beliebigen Funktionen f und g aus H (U) seien Addition und Multiplikation wie folgt punktweise definiert: ( f + g ) (z) := f (z) + g (z) ( f Â· g ) (z) := f (z) Â· g (z) Dann bildet H (U) zusammen mit definierter Addition und Multiplikation einen kommutativen Ring
	die jeden Punkt aus U auf 0
	bzw
	Null- und Eins-Element des Ringes sind die konstanten Funktionen
	1 abbilden
	erhÃ¤lt man unter sonst gleichen Bedingungen einen IntegritÃ¤tsring
	dass U zusammenhÃ¤ngend
	Fordert man weiterhin
	d. h. ein Gebiet ist
	Ersetzt man weiterhin H (U) durch die Menge aller nullstellenfreier holomorpher Funktionen in diesem Gebiet
	erhÃ¤lt man unter sonst gleichen Bedingungen einen KÃ¶rper. [Bearbeiten]
Ganze Funktionen
	werden als ganze Funktionen bezeichnet
	Funktionen
	die in der ganzen komplexen Zahlenebene holomorph sind
	so gilt nach dem Satz von Liouville: <math>f<math> ist auf ganz <math>mathbb C<math> schon konstant
	so dass fÃ¼r alle <math>z<math> gilt: <math>\|f(z)\| < C<math>
	Ist <math>f<math> eine ganze Funktion und zusÃ¤tzlich beschrÃ¤nkt (d. h. es gibt ein <math>C > 0<math>
	Konforme Abbildung en:Holomorphic function fr:Fonction holomorphe ja:æ£å‰‡é–¢æ•°
	Siehe auch Komplexe Teilmengen

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Holomorphie aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.

Jean Tardieu Gerichteter Graph PaukverhÃ¤ltnis Gollum

[Zurück ]

Inhalt Glossar:

Diese Seite einem Freund, Kollegen oder Bekannten weiterempfehlen? Hier klicken!

Allgemein

Holomorphie

Komplexe Differenzierbarkeit

Beispiele fÃ¼r holomorphe (komplex differenzierbare) Funktionen

Beispiele fÃ¼r nicht holomorphe (nicht komplex differenzierbare) Funktionen

Anmerkungen

n-fach differenzierbar?

Algebraische Eigenschaften

Ganze Funktionen