Formelsammlung Geometrie

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Stichpunkte

Allgemein
	Kosinus und Tangens am Einheitskreis 3.1.4 Vorzeichen fÃ¼r Winkel zwischen 0Â° und 360Â° 3.1.5 Sinussatz 3.1.6 Kosinussatz 3.2 Grad und Radiant 3.3 NÃ¤herungen fÃ¼r sin x
	Die Formelsammlung zur Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung
	"Verbergen") 1 Geometrie in der Ebene 1.1 Abbildungen 1.2 Winkel 1.3 Teilung einer Strecke 1.4 Dreieck 1.4.1 Satzgruppe des Pythagoras 1.5 KongruenzsÃ¤tze 1.6 Ã„hnlichkeitssÃ¤tze 1.7 StrahlensÃ¤tze 1.8 Vierecke 1.8.1 Quadrat (Geometrie) 1.8.2 Rechteck 1.8.3 Raute (Rhombus) 1.8.4 Parallelogramm 1.8.5 Trapez 1.9 Geometrie am Kreis 1.10 RegelmÃ¤ÃŸige Vielecke 1.11 Kreis
	Kosinus und Tangens 3.1.3 Sinus
	in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	cos x und tan x 3.4 Arcusfunktionen [Bearbeiten]
	Kreisteile 1.12 Ellipse 2 Geometrie im Raum 2.1 Einfache KÃ¶rper 2.2 RegelmÃ¤ÃŸige KÃ¶rper 2.3 Zylinder 2.4 Kegel 2.5 Kugel und Kugelteile 2.6 Ellipsoid und DrehkÃ¶rper 2.6.1 Ellipsoid 3 Trigonometrie 3.1 Trigonometrische Funktionen 3.1.1 Definitionen 3.1.2 Eigenschaften von Sinus
Geometrie in der Ebene
	[Bearbeiten]
Abbildungen
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Winkel
	Nebenwinkel Nebenwinkel betragen zusammen immer 180Â°. Scheitelwinkel Scheitelwinkel sind immer gleich groÃŸ. Stufenwinkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groÃŸ. Wechselwinkel Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groÃŸ. AuÃŸenwinkel Im Dreieck ist ein AuÃŸenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel. Winkelsummen Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180Â° Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck ist immer 360Â° Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck ist immer (n-2)*180Â° [Bearbeiten]
Teilung einer Strecke
	auf diesem trage man n mal dieselbe Strecke ab
	verbinde deren Endpunkt C mit B und zeichne die Parallelen zu BC durch die bei der Unterteilung von AC entstandenen Punkte
	VerhÃ¤ltnisteilung Um eine Strecke AB in einem bestimmten VerhÃ¤ltnis (in n gleiche Teile) zu teilen
	der nicht parallel zu AB ist
	deren Schnittpunkte mit AB teilen AB in n gleiche Teile. [Bearbeiten]
	zeichne man zunÃ¤chst einen beliebigen Strahl von A aus
Dreieck
	Benennung der Seiten und Winkel Der Innenwinkel beim Eckpunkt A nennt man <math>alpha<math> (griechische Kleinbuchstaben) Die Dreiecksseite (bzw. deren LÃ¤nge) gegenÃ¼ber der Ecke A nennt man a Gleichseitiges Dreieck Alle Seiten sind gleich lang Alle Winkel sind gleich groÃŸ (60Â°) HÃ¶henlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende Gleichschenkliges Dreieck 2 Seiten sind gleichlang (Schenkel a und b) Die zwei Basiswinkel (<math>alpha<math> und <math>beta<math>)sind gleich groÃŸ Die HÃ¶henlinie halbiert den Winkel <math>gamma<math> Die HÃ¶henlinie halbiert die Basis c Rechwinkliges Dreieck <math>alpha<math> + <math>beta<math> = 90Â° Hypotenuse = lÃ¤ngste Seite = Seite gegenÃ¼ber 90Â°-Winkel Satz des Pythagoras: (Kathete a)2 + (Kathete b)2 = (Hypotenuse c)2 Schnittpunkt der Seitenhalbierenden Die Seitenhalbierenden (Schwerlinien) schneiden sich im VerhÃ¤ltnis 2 : 1. Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt
	dem Schwerpunkt S. Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten entspricht dem Mittelpunkt des Umkreises. Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden entspricht dem Mittelpunkt des Inkreises. w<math>alpha<math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>alpha<math>. HÃ¶henschnittpunkt Die HÃ¶hen schneiden sich in einem Punkt. Die HÃ¶he hc ist die HÃ¶he vom Punkt C aus auf die Seite c. D ist der HÃ¶henfuÃŸpunkt von hc. FlÃ¤chenberechnung mit Grundseite und HÃ¶he <math>A=frac{g cdot h}{2}<math> FlÃ¤chenberechnung mit einem Winkel <math>A=frac{bcdot ccdot sin(alpha)}{2}<math> (b und c sind die den Winkel <math>alpha<math> einschlieÃŸenden Seiten) [Bearbeiten]
Satzgruppe des Pythagoras
	b^2 = q cdot c<math> HÃ¶hensatz Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat Ã¼ber der HÃ¶he auf der Hypotenuse flÃ¤chengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten. <math>h^2 = q cdot p<math> [Bearbeiten]
	Satz des Pythagoras Im rechtwinkligen Dreieck ist die FlÃ¤che des Quadrats Ã¼ber der Hypotenuse gleich der Summe der FlÃ¤chen der Quadrate Ã¼ber den Katheten: <math>mathbf{a^2 + b^2 = c^2}<math> Kathetensatz Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat Ã¼ber einer Kathete flÃ¤chengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse: <math>a^2 = p cdot c
KongruenzsÃ¤tze
	wenn sie Ã¼bereinstimmen in drei Seiten (sss) zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws) zwei Seiten und dem Gegenwinkel der lÃ¤ngeren Seite (Ssw) einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw) [Bearbeiten]
	Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich
Ã„hnlichkeitssÃ¤tze
	wenn drei Paare entsprechender Seiten das gleiche VerhÃ¤ltnis haben zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche VerhÃ¤ltnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel Ã¼bereinstimmen zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe VerhÃ¤ltnis haben und die Gegenwinkel der lÃ¤ngeren Seiten Ã¼bereinstimmen zwei Winkel Ã¼bereinstimmen [Bearbeiten]
	Zwei Dreiecke sind Ã¤hnlich
StrahlensÃ¤tze
	[Bearbeiten]
Vierecke
	[Bearbeiten]
Quadrat (Geometrie)
	Quadrat Umfang: <math> U = 4cdot a <math> Quadrat FlÃ¤che: <math> A = a^2 <math> Diagonale im Quadrat: <math> d = acdot sqrt{2}<math> [Bearbeiten]
Rechteck
	Rechteck Umfang: <math> U = 2cdot a + 2cdot b<math> Rechteck FlÃ¤che: <math> A = acdot b <math> Diagonale im Rechteck: <math> d = sqrt{a^2 + b^2}<math> [Bearbeiten]
Raute (Rhombus)
	Raute Umfang: <math> U = 4cdot a <math> Raute FlÃ¤che: <math> A = frac {1} {2} cdot e cdot f<math> Diagonalen in der Raute: <math> e^2 + f^2 = 4cdot a^2 <math> [Bearbeiten]
Parallelogramm
	Parallelogramm Umfang: <math> U = 2cdot (a + b)<math> Parallelogramm FlÃ¤che: <math> A = acdot h_a = bcdot h_b <math> [Bearbeiten]
Trapez
	Trapez Umfang: <math> U = a + b + c + d <math> Trapez FlÃ¤che: <math> A = mcdot h<math> <math> m = frac {1} {2} (a + c)<math> Bild nicht gefundenright [Bearbeiten]
Geometrie am Kreis
	[Bearbeiten]
RegelmÃ¤ÃŸige Vielecke
	[Bearbeiten]
Kreis, Kreisteile
	Kreisumfang <math>U = 2 cdot pi cdot r = pi cdot d<math> KreisflÃ¤che <math>A = pi cdot r^2 <math> LÃ¤nge eines Kreisbogens <math>b = 2 cdot pi cdot r cdot { alpha over 360^circ}<math> FlÃ¤che eines Kreisausschnittes (Sektor) <math>A = pi cdot r^2 cdot { alpha over 360^circ}<math> FlÃ¤che eines Kreisabschnittes (Segment) <math>A = {{r^2} over {2}} cdot left( {{{pi} cdot {alpha} } over{180^circ}} - sin alpha right)<math> [Bearbeiten]
Ellipse
	b Halbachsen der Ellipse) FlÃ¤cheninhalt (Inneres der Ellipse) <math>A=2cdot int_{-a}^{a}sqrt{frac{a^2 b^2 - b^2 x^2}{a^2}}
	Gleichung der Ellipse <math> frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 <math> (a
	d = kleiner Durchmesser <math>A={2 Dd}/4/<math> [Bearbeiten]
	dx = a b pi<math> D = groÃŸe Durchmesser
Geometrie im Raum
	[Bearbeiten]
Einfache KÃ¶rper
	[Bearbeiten]
RegelmÃ¤ÃŸige KÃ¶rper
	[Bearbeiten]
Zylinder
	Volumen gerader und schrÃ¤ger Zylinder <math>V = pi cdot r^2 cdot h<math> Mantel gerader Zylinder <math>M = 2 cdot pi cdot r cdot h = pi cdot d cdot h<math> OberflÃ¤che gerader Zylinder <math>O = 2 cdot pi cdot r cdot h + 2 cdot pi cdot r^2 = 2 cdotpi cdot r cdot (h + r)<math> [Bearbeiten]
Kegel
	Volumen von senkrechten und schrÃ¤gen Kegeln <math>V = {1 over 3} cdot pi cdot r^2 cdot h<math> Mantel von senkrechten Kegeln <math>M = pi cdot r cdot s<math> OberflÃ¤che von senkrechten Kegeln <math>O = pi cdot r cdot s + pi cdot r^2 = pi cdot r cdot (s + r)<math> Zusammenhang von Radius
	HÃ¶he und SeitenhÃ¶he <math>s^2 = r^2 + h^2<math> [Bearbeiten]
Kugel und Kugelteile
	Volumen einer Kugel <math>V = {4 over 3} cdot pi cdot r^3<math> OberflÃ¤che einer Kugel <math>O = 4 cdot pi cdot r^2<math> Umfang einer Kugel <math>U = 2 cdot pi cdot r = pi cdot d<math> Kugelkalotte (KugelmÃ¼tze) <math>A = 2 cdot r cdot pi cdot h <math> Kugelsegment <math>O = 2 cdot r cdot pi cdot h + rho^2 pi<math> mit :<math>rho^2 = h cdot (2r -h)<math> <math>V = {h^2 cdot pi over 3} cdot (3r - h)<math> Kugelzone <math>A = 2 cdot r cdot pi cdot h <math> [Bearbeiten]
Ellipsoid und DrehkÃ¶rper
	[Bearbeiten]
Ellipsoid
	b: <math>V = pi int_{-a}^{a} frac{ a^2 b^2 - b^2 x^2 }{a^2} dx <math> [Bearbeiten]
	b
	<math> Volumen eines Rotationsellipsoids mit den Halbachsen a
	c: <math>V=frac{4}{3}cdot picdot acdot bcdot c
	Volumen eines Ellipsoids mit den Halbachsen a
Trigonometrie
	[Bearbeiten]
Trigonometrische Funktionen
	[Bearbeiten]
Definitionen
	Sinus <math>sin alpha = {Gegenkathete over Hypotenuse}= {a over c}<math> Kosinus <math>cos alpha = {Ankathete over Hypotenuse}= {b over c}<math> Tangens <math>tan alpha = {Gegenkathete over Ankathete} = {a over b}<math> [Bearbeiten]
Eigenschaften von Sinus, Kosinus und Tangens
	<math>sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1<math> <math>tan(alpha) = frac{sin(alpha)} {cos(alpha)}<math> <math>sin(alpha) = cos(90^circ - alpha)<math> [Bearbeiten]
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
	[Bearbeiten]
Vorzeichen fÃ¼r Winkel zwischen 0Â° und 360Â°
	[Bearbeiten]
Sinussatz
	<math>{{sin alpha} over a} = {{sin beta} over b} = {{sin gamma} over c}<math> [Bearbeiten]
Kosinussatz
	<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2 cdot b cdot c cdot cos alpha<math> <math>b^2 = a^2 + c^2 - 2 cdot a cdot c cdot cos beta<math> <math>c^2 = a^2 + b^2 - 2 cdot a cdot b cdot cos gamma<math> [Bearbeiten]
Grad und Radiant
	Grad: 360Â° entsprechen einem Vollwinkel Neugrad: 400g (gon) entsprechen einem Vollwinkel BogenmaÃŸ/Radiant: 2<math>pi<math> entsprechen einem Vollwinkel Umrechnung Grad in BogenmaÃŸ <math>b = {{2 cdot pi cdot alpha} over 360^circ }<math> [Bearbeiten]
NÃ¤herungen fÃ¼r sin x, cos x und tan x
	[Bearbeiten]
Arcusfunktionen

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Geometrie in der Ebene

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Teilung einer Strecke

Dreieck

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RegelmÃ¤ÃŸige Vielecke

Kreis, Kreisteile

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Trigonometrische Funktionen

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Eigenschaften von Sinus, Kosinus und Tangens

Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis

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