Formelsammlung Algebra

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Stichpunkte

Allgemein
	in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	GauÃŸklammer 6 Termumformungen 7 Grundlegende Funktionen 8 Lineare Gleichungssysteme 9 Quadratische Gleichungen 10 Gleichungen n-ten Grades 11 Polynome n-ten Grades 12 Polynomdivision 13 Horner-Schema 14 Mittelwerte 15 Potenzen 16 Wurzeln 17 Logarithmus 18 Komplexe Zahlen 19 VollstÃ¤ndige Induktion 20 Kombinatorik 20.1 FakultÃ¤t 20.2 Binomialkoeffizient (â€žn Ã¼ber kâ€œ) 20.3 Binomischer Satz / Pascalsches Dreieck 21 Stirlingsche NÃ¤herungsformel 22 Potenzsummen 23 Endliche Reihen 23.1 Rechenregeln 23.2 Arithmetische Reihen 23.3 Geometrische Reihe 23.4 Binomische Reihen 24 Prozentrechnung 25 Zinsrechnung 25.1 Bezeichnungen 25.2 Einfache Zinsrechnung: 25.3 Zinseszins: 25.4 Rentenrechnung 25.5 Rentenrechnung (NachschÃ¼ssige Rentenzahlungen) 25.6 Rentenrechnung (VorschÃ¼ssige Rentenzahlungen) 25.7 Sparkassenformel [Bearbeiten]
	"Verbergen") 1 Grundrechenarten 1.1 Bruchrechnen 2 Klammerersparungsregeln 3 Grundgesetze 4 Gesetze der Anordnung 5 Betrag Mathematik
	Signum
	Die Formelsammlung zur Algebra ist ein Teil der Formelsammlung
Grundrechenarten
	[Bearbeiten]
Bruchrechnen
	Nein [Bearbeiten]
Klammerersparungsregeln
	<math>Formel hier einfÃ¼gen<math>==Grundbegriffe der Algebra== [Bearbeiten]
Grundgesetze
	Assoziativ-Gesetz a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = a + b + c a Â· ( b Â· c ) = ( a Â· b ) Â· c = a Â· b Â· c Kommutativ-Gesetz (Vertauschungsgesetz) a + b = b + a a Â· b = b Â· a Distributiv-Gesetz a Â· ( b + c ) = a Â· b + a Â· c a Â· ( b - c ) = a Â· b - a Â· c [Bearbeiten]
Gesetze der Anordnung
	[Bearbeiten]
Betrag Mathematik, Signum, GauÃŸklammer
	& x
	Betrag: <math>left\| x right\|=begin{cases}x
	& x0 \ -1
	& x>0 \ -x
Termumformungen
	[Bearbeiten]
Grundlegende Funktionen
	[Bearbeiten]
Lineare Gleichungssysteme
	[Bearbeiten]
Quadratische Gleichungen
	2}=frac{-b pm sqrt{b^2 - 4cdot ac}}{2cdot a}<math> <math>left.begin{matrix} mbox{Zerlegung in Linearfaktoren:} & x^2+px+q=(x-x_1)cdot (x-x_2)=0 \ mbox{Satz von Vieta:} & p=-(x_1+x_2) qquad q=x_1cdot x_2 end{matrix}right } x_1
	x_2 mbox{ sind LÃ¶sungen}<math> [Bearbeiten]
	pq-Formel: Bringt man die Ausgangsgleichung in die Form <math>x^2 + pcdot x + q = 0<math> dann gilt <math>x_{1
	2}= -{p over 2} pm sqrt{{p^2 over 4} - q}<math> abc-Formel: (Ã¤quivalent zur pq-Formel) Bringt man die Ausgangsgleichung in die Form <math>acdot x^2 + bcdot x + c = 0<math> dann gilt <math>x_{1
Gleichungen n-ten Grades
	Cardanische Formeln Kubische Gleichung [Bearbeiten]
Polynome n-ten Grades
	[Bearbeiten]
Polynomdivision
	[Bearbeiten]
Horner-Schema
	Mit dem Hornerschema lÃ¤sst sich die Berechnung von Funktionswerten fÃ¼r ein Polynom vereinfachen
	die der Spalten um zwei grÃ¶ÃŸer als der Grad des Polynoms (fÃ¼r das Beispiel also vier Spalten). Die Koeffizienten scheibt man
	von der zweiten Spalte beginnend
	in die erste Zeile. Den x-Wert schreibt man in die erste Spalte der zweiten Zeile. Beginnend mit der zweiten Spalte werden die oberen beiden Zahlen addiert
	Beispiel: <math>f(x):=x^2-2x-8<math> Dazu legt man eine Tabelle an. Die Anzahl der Zeilen ist drei
	Der Faktor der zweiten Zeile der nÃ¤chsten Spalte ergibt sich aus der Multiplikation der voranstehenden Summe mit dem x-Wert
	Kurz: Senkrecht wird summiert
	schrÃ¤g wird multipliziert
	Der Funktionswert befindet sich zum Schluss in der dritten Zeile der letzten Spalte
	hier <math>x-(-2)<math>: <math>f(x)=(x-4)(x+2)<math> [Bearbeiten]
	Null sein
	wie hier
	Beispiel fÃ¼r <math>f(-2)<math>: 1 -2 -8 x=-2 -2 8 --------------- 1 -4 0 Sollte der Funktionswert
	sind die restlichen Zahlen in der letzten Zeile das Ergebnis der Polynomdivision der Funktion durch <math>x<math> minus den Wert
Mittelwerte
	welcher in einer geordneten Liste genau in der Mitte steht
	4 -> Zentralwert = (2+3)/2 = 2
	2
	bzw. bei zwei Werten in der Mitte das arithmetische Mittel dieser. z.B.: 1
	5 [Bearbeiten]
	3
	2
	3 -> Zentralwert = 2 z.B.: 1
	arithmetisches Mittel von a und b: <math>{a + b} over 2<math> allgemeiner Ansatz: <math>bar x = frac{1}{n}cdot sum_{i=1}^n x_i<math> geometrisches Mittel von a und b: <math>sqrt{a cdot b}<math> allgemeiner Ansatz: <math>bar x = sqrt[n]{prod_{i=1}^n x_i}<math> gewogenes arithmetisches Mittel <math>bar x=frac{sum_{i=1}^n bar x_i cdot m_i}{sum_{i=1}^m m_i}<math> Zentralwert Der Wert
Potenzen
	Definition Potenzen <math>a^n = a cdot a cdot ... cdot a <math> (n Faktoren) formal: <math>a^n=left{begin{matrix} 1 & n=0 \ prod_{i=1}^n a & n ge 1 end{matrix}right.<math> Begriffe zu Potenzen <math>a^n<math> (das Ergebnis der Rechnung) ist die Potenz a ist die Basis n ist der Exponent Potenzen mit gleicher Basis <math>a^x cdot a^y = a^{x+y}<math> <math>{a^b over a^c} = a^{b-c}<math> Potenzieren einer Potenz <math>{a^b}^c = a^{b cdot c}<math> Potenzen mit gleichem Exponenten <math>x^a cdot y^a = (x cdot y)^a<math> <math>{x^a over y^a} = left( {x over y} right)^a<math> [Bearbeiten]
Wurzeln
	Definition Wurzel <math>x^n = a Leftrightarrow x = sqrt[n]{a}<math> Begriffe zu Wurzeln <math>x = sqrt[n]{a}<math> n ist der Wurzelexponent a ist der Radikant Wurzeln als Potenzen umgeschrieben <math>sqrt[n]{x} = x^{1 over n}<math> Wurzel und Potenz (gilt nur bei ungeradem m und bei geradem m fÃ¼r positive x) <math>sqrt[m]{x ^n} = {sqrt[m]{x }} ^n = x^{n over m}<math> Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten <math>sqrt[n]{a} cdot sqrt[n]{b} = sqrt[n]{a cdot b}<math> <math>{{ sqrt[n]{a}} over {sqrt[n]{b}}} = sqrt[n]{a over b}<math> Wurzeln aus Wurzel <math> sqrt[n]{{sqrt[m]{b}}} = sqrt[n cdot m]{a}<math> [Bearbeiten]
Logarithmus
	Definition des Logarithmus zur Basis b <math>x = log_b a Leftrightarrow a = b^x<math> Logarithmus-Gesetze <math>log ( a cdot b) = log a + log b<math> <math>log left( {a over b} right) = log a - log b<math> <math>log left( a^b right) = b cdot log a<math> [Bearbeiten]
Komplexe Zahlen
	[Bearbeiten]
VollstÃ¤ndige Induktion
	[Bearbeiten]
Kombinatorik
	[Bearbeiten]
FakultÃ¤t
	<math>n! = 1 cdot 2 cdot ... cdot n = prod_{i=1}^{n} i<math> <math>0! = 1<math> [Bearbeiten]
Binomialkoeffizient (â€žn Ã¼ber kâ€œ)
	<math>{n choose k} = frac{n!}{(n-k)! cdot k!}<math> [Bearbeiten]
Binomischer Satz / Pascalsches Dreieck
	<math>(a+b)^0 = 1<math> <math>(a+b)^1 = a+b<math> <math>(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2<math> <math>(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3<math> <math>(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4<math> ... <math>k = 0 ... n<math> <math>(a+b)^n = {n choose 0}a^{n}+{n choose 1}a^{n-1}b+{n choose 2}a^{n-2}b^2+...+{n choose n-1}ab^{n-1}+{n choose n}b^n<math> <math>= sum_{k=0}^n {n choose k}a^{n-k} b^k<math> [Bearbeiten]
Stirlingsche NÃ¤herungsformel
	<math>n! approx left(frac{n}{e}right)^n cdot sqrt{2 pi n}<math> N.b.:  Der Relative Fehler <math>frac{epsilon}{n!}<math> ist bei groÃŸem <math>n<math> klein
	Das gilt nicht notwendigerweise fÃ¼r den absoluten Fehler
	Es gilt: <math>n! = left(frac{n}{e}right)^n cdot sqrt{2 pi n} cdot left[1 + mathcal{O}(1/n)right]<math> [Bearbeiten]
Potenzsummen
	[Bearbeiten]
Endliche Reihen
	Hintergrundinformation in den Artikeln Summe und Reihe
	ErklÃ¤rungen zum Summenzeichen ebenfalls im Artikel Summe. [Bearbeiten]
Rechenregeln
	<math> sum_{i=1}^{n}c = n cdot c <math> (Summation Ã¼ber n konstante Glieder ist soviel wie Multiplikation mit n) <math> sum_{i=m}^{n}c = (n-m+1) cdot c <math> (Summation Ã¼ber n-m+1 konstante Glieder) <math> sum_{i=m}^{n}c cdot a_i = c cdot sum_{i=m}^{n}a_i <math> (Konstanter Faktor kann vor das Summenzeichen gezogen werden) <math> sum_{i=m}^{n}(a_i + b_i) = sum_{i=m}^{n}a_i + sum_{i=m}^{n}b_i <math> (Reihenfolge der Summanden kann beliebig geÃ¤ndert werden) [Bearbeiten]
Arithmetische Reihen
	<math> sum_{i=1}^n i = frac{n(n+1)}{2} <math> (Summe der ersten n natÃ¼rlichen Zahlen) <math> sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2 <math> <math> sum_{i=0}^n i^2 = frac{n(n+1)(2n+1)}{6} <math> <math> sum_{i=0}^n i^3 = left(frac{n(n+1)}{2}right)^2 <math> [Bearbeiten]
Geometrische Reihe
	<math> sum_{i=0}^n q^i = frac{;; 1-q^{n+1}}{!!!!! 1-q} <math> (geometrische Reihe) <math> sum_{i=0}^{infty} q^i = frac{1}{1-q} qquad mbox{mit } \|q\|
Binomische Reihen
	b in mathbb{R} und n in mathbb{N})<math> (allgemeine Binomische Formel mit natÃ¼rlichen Exponenten) <math> sum_{i=0}^{n} {n choose i} q^i = ( 1 + q)^n <math> (siehe Binomischer Lehrsatz) <math> sum_{i=0}^{n-1} {i choose k} = {n choose k+1} <math> [Bearbeiten]
	<math> sum_{i=0}^{n} {n choose i} = 2^n <math> (siehe Binomialkoeffizient) <math> sum_{i=0}^{n} (-1)^i{n choose i} = 0 qquad ( f ddot ur alle n>0)<math> <math> sum_{k=0}^{n}{n choose k} a^{k}b^{n-k} = (a+b)^n qquad (a
Prozentrechnung
	p = Prozentsatz
	G = Grundwert
	W = Prozentwert <math>W = G cdot {p over 100} quadmbox{oder}quad p = {W over G} cdot 100 quadmbox{oder}quad G = {W cdot 100 over p} <math> [Bearbeiten]
Zinsrechnung
	[Bearbeiten]
Bezeichnungen
	die der Rentenvorgang andauert) p = Zinssatz der Verzinsung der Rentenraten bzw. des Kapitalbestandes Als Zinsperiode wird i.d.R. das Kalenderjahr
	K0 = Anfangskapital Kn = Endkapital (nach n Zinsperioden) n = Laufzeit p = ZinsfuÃŸ (Zinssatz in Prozent) i = Zinssatz (mit i = p/100) q = Zinsfaktor (mit q = 1 + i) r = Rentenrate R0 = Rentenbarwert (zum Zeitpunkt t = 0) Rn = Rentenendwert (nach n geleisteten Rentenzahlungen) r = konstante Rentenrate oder Rate n = Anzahl der Rentenperioden (Anzahl der Jahre
	eingeteilt in 12 Monate mit je 30 Zinstagen gewÃ¤hlt. [Bearbeiten]
Einfache Zinsrechnung:
	Endkapital: <math>mathbf{K_n = K_0 * (1+ ni)}<math> [Bearbeiten]
Zinseszins:
	Endkapital: <math>mathbf{K_n = K_0 * q^n}<math> [Bearbeiten]
Rentenrechnung
	Je nachdem
	zu welchem Zeitpunkt innerhalb der zugehÃ¶rigen Zeitperiode die Rente zur Auszahlung kommt
	und einer nachschÃ¼ssigen Rente (postnumerando)
	wenn sie am Anfang
	wenn sie am Ende des zugehÃ¶rigen Zeitintervalls ausgezahlt wird. [Bearbeiten]
	unterscheidet man zwischen einer vorschÃ¼ssigen Rente (prÃ¤numerando)
Rentenrechnung (NachschÃ¼ssige Rentenzahlungen)
	Rentenrate fÃ¼r R0 : <math>mathbf{r(na) = R_0 * q^n * left(frac{q - 1}{q^n - 1}right)}<math> Rentenrate fÃ¼r Rn : <math>mathbf{r(na) = R_n * left(frac{q - 1}{q^n - 1}right)}<math> Rentenendwert: <math>mathbf{R_n(na) = r * left(frac{q^n - 1}{q - 1}right)}<math> Rentenbarwert: <math>mathbf{R_0(na) = left(frac{r}{q^n}right) * left(frac{q^n - 1}{q - 1}right)}<math> [Bearbeiten]
Rentenrechnung (VorschÃ¼ssige Rentenzahlungen)
	Rentenrate fÃ¼r R0=: Rentenrate fÃ¼r Rn:r* q^n -1/q-1 Rentenendwert: = Rentenbarwert: = Rentenbarwert: = <math>Formel hier einfÃ¼gen<math>===Abschreibung=== JÃ¤hrlicher (j) Abschreibungsbetrag (Lineare Abschreibung) <math> r = frac{K_0 - K_n}{n}<math> JÃ¤hrlicher Abschreibungsbetrag (Geometrisch degressive Abschreibung) <math>mathbf{r_j = K_0 * q^{j-1} * i}<math> [Bearbeiten]
Sparkassenformel
	Ansparen mit vorschÃ¼ssigen Raten: <math>mathbf{K_n = K_0 * q^n + r * q * left(frac{q^n - 1}{q - 1}right)}<math> Abzahlen mit vorschÃ¼ssigen Raten: <math>mathbf{K_n = K_0 * q^n - r * q * left(frac{q^n - 1}{q - 1}right)}<math> Ansparen mit nachschÃ¼ssigen Raten: <math>mathbf{K_n = K_0 * q^n + r * left(frac{q^n - 1}{q - 1}right)}<math> Abzahlen mit nachschÃ¼ssigen Raten: <math>mathbf{K_n = K_0 * q^n - r * left(frac{q^n - 1}{q - 1}right)}<math>

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Potenzsummen

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Zinseszins:

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