Ellipse

Stichpunkte

Allgemein
	Dieser Artikel befasst sich mit der Ellipse in der Mathematik
	für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten
	konstant gleich 2a ist. <math>ell = {Xmid overline{XF_1} + overline{XF_2} = 2a}<math> Es ergibt sich folgende Figur: Die Punkte A und B werden Hauptscheitel genannt
	den Brennpunkten F1 und F2
	andere Bedeutungen unter Ellipse (Begriffsklärung). Eine Ellipse ist in der Geometrie definiert als die Menge aller Punkte
	a ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und einem Hauptscheitel
	Die Verbindungslinie von A und B heißt Hauptachse
	Analog sind C und D die Nebenscheitel
	b ihr Abstand vom Mittelpunkt und die Verbindungslinie die Nebenachse
	die Nebenscheitel diejenigen mit dem kleinsten
	Die Hauptscheitel sind die Punkte mit dem größten Abstand vom Mittelpunkt
	Haupt- und Nebenachse sind zu einander orthogonal
	also die Strecke von A zum Mittelpunkt
	Die Große Halbachse einer Ellipse hat genau die halbe Länge der Hauptachse
	der linearen Exzentrizität
	Die Brennpunkte liegen im Abstand e
	vom Mittelpunkt auf der Hauptachse
	der sich wie folgt ergibt: <math>varepsilon = frac{e}{a} = frac{sqrt{a^2-b^2}}{a} <math> Die Verbindungslinien zwischen den Brennpunkten und einem Punkt der Ellipse heißen Brennlinien
	Die numerische Exzentrizität ist ein dimensionsloser Wert
	Die Brennpunkte erhalten ihren Namen von einer bemerkenswerten Eigenschaft der Ellipse: Stellt man eine Lampe in einen Brennpunkt der Ellipse
	werden die ausgesendeten Lichtstrahlen von der Ellipse so reflektiert
	dass sie sich im anderen Brennpunkt treffen
	Diese Eigenschaft hängt mit der Konstruktion der Tangenten der Ellipse zusammen: Die Tangente in einem Punkt der Ellipse ist eine der Winkelsymmetralen der Brennlinien
	Archimedes soll
	so will es die Legende
	diese Eigenschaft ausgenützt haben um eine Flotte römischer Kriegsschiffe in Brand zu setzen
	in deren einen Brennpunkt er ein Feuer entzündete und in deren anderen Brennpunkt sich ein feindliches Schiff befand
	Mit Schilden baute er einen Teil einer großen Ellipse
	Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Hälfte einer Ellipse
	hört man jedes Geräusch
	Befindet man sich in einem Brennpunkt dieser Ellipse
	dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt
	stark verstärkt („Flüstergewölbe“)
	b und e gilt laut Satz von Pythagoras der Zusammenhang: a2 = b2 + e2. Die Ellipse ist ein Kegelschnitt
	wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist
	der entsteht
	Zwischen a
	Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse
	nennt man konfokal
	Zwei Ellipsen mit den selben Brennpunkten
	deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt und deren Hauptachse mit der x-Achse zusammen fällt
	nennt man Ellipse in 1
	Eine Ellipse
	Hauptlage
	In der ebenen analytischen Geometrie kann eine Ellipse in erster Hauptlage mit folgender Gleichung dargestellt werden. <math>frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1<math> Gabriel Lamé verallgemeinerte die Ellipse (Lamésche Kurve
	Superellipse)
	Eine ihrer Anwendungen finden Ellipsen in der Astronomie
	zum Beispiel in den Keplerschen Gesetzen
	Sie werden auch oft in Grafiken verschiedenster Art verwendet. Österreichern sind sie zum Beispiel im (alten?) ORF-Logo bekannt
	entsteht ein Ellipsoid. [Bearbeiten]
	Wendet man die Ellipsendefinition im Raum an oder rotiert man eine Ellipse um ihre Hauptachse
Konstruktion
	Ellipsen lassen sich nur punktweise konstruieren
	d.h. eine genaue Konstruktion wie zum Beispiel beim Kreis ist unmöglich
	Mit Hilfe der Krümmungskreise (siehe unten) und einem Kurvenlineal lässt sich aber auch zeichnerisch ein relativ genaues Bild der Ellipse erstellen
	Um aber zum Beispiel eine Gerade exakt mit einer Ellipse schneiden zu können braucht man besondere Konstruktionstechniken
	welche die Eigenschaften der Ellipse ausnützen
	wenn die beiden Brennpunkte und die Länge der Hauptachse angegeben ist
	Die Ellipse lässt sich am einfachsten zeichnen
	Dann kann man einfach einzelne Punkte mittels der Ellipsendefinition konstruieren und diese „verbinden“
	Um die Konstruktion zu vereinfachen
	kann man zuerst die Scheitelkrümmungskreise bestimmen
	Dies sind Kreise
	die die Ellipse in der Nähe der Scheitel gut annähern
	da sie die selbe Krümmung besitzen wie die Ellipse in den Scheiteln
	die in den Brennpunkten stehen
	Eine Möglichkeit die Ellipse „genau“ zu zeichnen ist die so genannte Gärtnerkonstruktion: Um ein ellipsenförmiges Blumenbeet zu erstellen befestigt man eine Schnur mit der Länge 2a an zwei Pflöcken
	Nun spannt man die Schnur und fährt mit einem Markierungsgerät an ihr entlang
	Diese Konstruktion ist natürlich in der klassischen Geometrie nicht erlaubt. Bild nicht gefunden Ellipsenzirkel nach Frans van Schoten aus dem 17
	Jahrhundert Ebenfalls können Ellipsen mit Frans van Schootens Ellipsenzirkel oder darauf beruhenden Nachbauten konstruiert werden
	Der Gelenkmechanismus wurde von dem holländischen Mathematiker im 17
	Jahrhundert erfunden
	Wenn man am Stift in Punkt E zieht
	zeichnet dieser eine Ellipse
	Der Mechanismus ist an den Brennpunkten H und I auf der Zeichenunterlage befestigt
	Mittels der Ellipsenkonstruktion nach De La Hire (auch Konstruktion nach Proklus) können Ellipsenpunkte konstruiert werden
	ohne dass die Brennpunkte angegeben sein müssen
	Sind zwei konjugierte Durchmesser angegeben
	kann man mit Hilfe der Rytz'schen Achsenkonstruktion die Haupt- und Nebenscheitel (und -achsen) bestimmen. [Bearbeiten]
Formelsammlung
	0)
	e = sqrt{a^2-b^2}<math> Flächeninhalt: <math>A=pi ; a ; b = pi ; a^2 ; sqrt{1-varepsilon^2}<math> Umfang: <math>U = 4aint_0^{pi /2} {sqrt {1 - varepsilon ^2 t} } dt<math> Dieses Integral lässt sich nicht exakt berechnen
	große Halbachse längs der x-Achse gilt: <math>frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1<math> Für eine Ellipse um (x0
	0)
	Für eine Ellipse in Mittelpunktslage
	0 le t le 2pi<math> Polarform: <math>r = frac{b}{{sqrt {1 - varepsilon ^2 cos ^2 varphi } }}<math> Brennpunkte: <math>F_1 = (e
	F_2 = (-e
	y0)
	große Halbachse längs der x-Achse gilt: <math>frac{(x-x_0)^2}{a^2} + frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1<math> Parameterform: <math>left{begin{matrix} x = a cos t \ y = b sin t end{matrix}right.
	Es gibt aber verschiedene Näherungsverfahren:   <math>U=4a ; E(k) quad mbox{mit} k:= frac{sqrt{a^2-b^2}}{a} <math>       E(k) ist Elliptisches Integral   <math>U=2a pi left[1 ; - ; left(frac{1}{2}right)^2 varepsilon^2 ; - ; left(frac{1 cdot 3}{2 cdot 4}right)^2 frac{varepsilon^4}{3} ; - ; dots ; - left(frac{1 cdot 3 cdot 5 cdot ; dots ; cdot (2n-1)}{2 cdot 4 cdot 6 cdot ; dots ; cdot 2n}right)^2 frac{varepsilon^{2n}}{2n-1} ; - ; dots right] <math>   <math>U approx pi (a+b) left(1+ frac{3lambda^2}{10+sqrt{4-3lambda^2}} right)
	quad lambda = frac{a-b}{a+b} <math>     relativer Fehler: <math>approx frac{3varepsilon^{20}}{2^{36}}<math> [Bearbeiten]
Weblinks
	Formeln zum Ellipsenumfang mit Beispielrechnung (http://www.mathematik-online.de/F57.htm#Ellipse) Mehrere Links zu Ellipsenzirkeln: [1] (http://members.aol.com/geometrie11/koorgeom/vellipse.html) [2] (http://www.fh-lueneburg.de/u1/gym03/homepage/faecher/mathe/geometri/analytgeo/ellipsenzirkeleuk.htm) [3] (http://home.eduhi.at/teacher/alindner/geonext/geonext/klasse4/ellipse/ell_zirkel_kreis.htm) [4] (http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/bielefeldproj2/plugin_cin/e_streifenkonstr.htm) cs:Elipsa da:Ellipse en:Ellipse es:Elipse fi:Ellipsi fr:Ellipse ia:Ellipse it:Ellisse ja:楕円 nl:Ellips (wiskunde) pl:Elipsa (matematyka) ru:ЭллипÑ? sl:Elipsa sv:Ellips (matematik)

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