Allgemein

Singular/Plural

Wie steht es eigentlich mit der Singular/Plural-Vereinbarung für Eintragsbegriffe? Bei der internationalen Wikipedia wird darauf geachtet, dass die Einträge im Singular steheh. -- Tiago

"Natürliche Zahlen" ist eine Menge. Es geht um viele Zahlen (um die Menge), nicht um genau eine Zahl. Deswegen halte ich den Plural für angebracht, denn er unterscheidet mögliche Begriffe. -- Fgb

Sehe ich ähnlich wie Fgb. Meiner Meinung nach, sollte man wenn möglich immer den Singular verwenden, aber gerade \"Natürliche Zahlen\" hätte ich vermutlich auch als Plural eingetragen - weil hier die Gesamtheit beschrieben wird. -- avatar

Sehe ich nicht so! Die 2 ist eine natürliche Zahl. Es gibt also den Singular Begriff. Sonst müsste man auch Tisch, Stuhl, Haus unter ihrer Pluralform stehen haben, weil es ja sehr viele davon gibt. Stern 13:44, 23. Apr 2004 (CEST)

LDC, take a look at this page when you get a chance--note the sl: interwiki link. Koyaanis Qatsi 13:51, 30. Aug 2002 (PDT)

0 als natürliche Zahl

Wieso ist es sinnvoll, dass die 0 in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten ist? Von der Bezeichnung her ist es sinnvoll, dass sie nicht die 0 enthält, da man so mit N und N₀ die Mengen ohne und mit der 0 einfach bezeichnen kann. Nankea 01:43, 14. Apr 2004 (CEST)

Sinnvoll sind beide Konventionen. Was für einen bestimmten Zweck besser geeignet ist, hängt von eben diesem Zweck ab.

Wer beide Mengen braucht, wird wohl die Schreibweisen N und N₀ verwenden. Wer dagegen in seiner Arbeit die natürlichen Zahlen mit Null ständig braucht, wird wohl dafür die Bezeichnung N verwenden, und an den paar Stellen, wo die Null ausgeschlossen werden soll, eine der anderen angegebenen Schreibweisen benutzen.

Analoge Unterscheidungen gibt es viele: Ich arbeite ständig mit der Menge der Primzahlen, die standardmäßig mit P (<math>\mathbb{P}</math>) geschrieben wird. Jedoch brauche ich auch oft die Menge der Primzahlen ohne die 2, die ich also als P\{2} schreibe. Mir käme nie in den Sinn, letztere Menge als P zu bezeichnen und alle Primzahlen mit P₂. --SirJective 13:30, 14. Apr 2004 (CEST)

Gut, also sind beide Konventionen, je nach zweck, gleich sinnvoll. Trotzdem halte ich die Aussage "Für eine formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln ist es aber sinnvoll..." für falsch. Das Gegenteil ist ebenso sinnvoll:

Null ist die Anzahl der Elemente der leeren Menge, aber sie ist nicht Element der natürlichen Zahlen. Die Leere Menge jedoch IST eine Teilmenge. Sie enthält nicht die Null, sondern GAR NICHTS. Somit werden beide Varianten bedient: für N_ohne_0 steht die Menge der natürlichen Zahlen, und für N_mit_0 stehen die Elementanzahlen der Teilmengen.

Ich erwarte von einer Enzyklopädie, daß die Allgemeinverständlichkeit der Artikel maximiert wird. Wenn es mehr als eine Konvention gibt (die signifikant ist), dann sollten alle gleichermaßen aufgelistet werden, eventuell mit Beschreibung ihres jeweiligen Verwendungsbereiches, aber der Artikeltext selbst sollte möglichst wenig von einer vorherrschenden Konvention gefärbt sein. --Modran 21:13, 24. Sep 2004 (CEST)

Die genannte Aussage ist nicht falsch - die 0 als natürliche Zahl zu betrachten ist tatsächlich sinnvoll. Und ebenso sinnvoll ist es, sie nicht als natürliche Zahl zu betrachten. Nur weil das Gegenteil sinnvoll ist... ;)

Bestimmt ist es eine gute Idee, die Verbreitung der beiden Varianten (und die Ursachen dafür) darzustellen. Ich denke aber, dass man sich innerhalb der Wikipedia auf eine Variante festlegen sollte, um dem Leser die Sicherheit zu geben, dass er weiß, was mit N gemeint ist (die Alternative wäre, in jedem Artikel, wo es drauf ankommt, dazuzuschreiben, ob die 0 als natürliche Zahl betrachtet wird). Ein entsprechender Absatz aus der englischen Seite lautet: "Wikipedia follows this convention [to include zero], as do set theorists, logicians, and computer scientists. Other mathematicians, primarily number theorists, often prefer to follow the older tradition and exclude zero from the natural numbers."

Und wie so oft ist der englische Artikel deutlich ausführlicher als der deutsche. --SirJective 23:49, 24. Sep 2004 (CEST)

Ich habe eben in Diskussion:Primzahl etwas dazu geschrieben, was unmittelbar hier auch hinpaßt. Mathematische Konventionen sind willkürlich und werden im Zweifelsfall nach ihrer Anwendbarkeit ausgewählt. Innerhalb der Peano-Aximo ist es völlig Wurscht, wie man das erste Glied der unendlichen Kette NENNT, hauptsache sie hat ein erstes Glied an einer Seite und ist an der anderen Seite unendlich.

Meines Wissens bildet heute die Mengenlehre die einfachste Basis, um alle bekannten formalen Systeme daraus zu konstruieren. Man konstruiert mit ihr sowohl die natürlichen Zahlen_ohne_0 als auch jene_mit_0. Zur einfachen Unterscheidung spricht man im einen fall von der "Menge der natürlichen Zahlen" (ohne explizit auf das "ohne_0" hinzuweisen), und im anderen Fall von der Mächtigkeit von Teilmengen der natürlichen Zahlen - bei denen plötzlich die 0 auftaucht, als Betrag der leeren Menge ( Eine Enzyklopädie sollte sich diese Methode zu eigen machen und jedes Lemma auf möglichst einfache Elemente zurückführen). Wenn eine Menge die zahl 0 enthält, so gibt es dennoch kein nulltes Element dieser Menge. Ein Element kann 0 sein, aber es kann sich nicht an nullter Position befinden. Im Gegensatz zum derzeitigen Artikeltext ist es tatsächlich sinnvoller, die 0 NICHT zur Menge N zu zählen, weil das die konstruktion aller anderen mengen, und damit die gesamte mathematik, vereinfacht.

ich möchte nur darauf hinaus, daß es falsch - oder zumindest subjektiv - ist, das Prädikat "sinnvoll" zu verwenden. --Modran 00:07, 25. Sep 2004 (CEST)

Ja, "sinnvoll" ist subjektiv und mathematische Definitionen willkürlich. Dem stimme ich zu. Was willst du noch aussagen?

Die "Mächtigkeit von Teilmengen der natürlichen Zahlen" umfasst auch die abzählbare Unendlichkeit, die nicht von N_0 erfasst wird. Von Neumanns Konstruktion liefert die 0 als natürliche Zahl, dargestellt durch die leere ("0-elementige") Menge. Gibt\"s ne einfachere Konstruktion, die 0 nicht als natürliche Zahl liefert? --SirJective 00:46, 25. Sep 2004 (CEST)

Reine Definitionsfrage. Die meisten Mathematiker starten bei 1, die theoretischen Informatiker bei 0 usw. Beide Gruppen gestalten dadurch ihre Darstellungen ein wenig netter. Hauptsache man hat induktive Mengen (Induktionsstart und Induktionsschritt) verstanden. --Marc van Woerkom 19:00, 25. Sep 2004 (CEST)

Es ist sehr wohl sinnvoll, wenn nicht gar notwendig, Null als natürliche Zahl anzusehen. Wenn man auf den Natürlichen Zahlen aufbaut und eine Abelsche_Gruppe konstruiert, braucht man ein Nullelement. Sobald man als Operation nicht nur die Multiplikation zulässt, bei der die 1 das Nullelement darstellt, sondern auch die Addition will, braucht man die Null - denn nur sie ist das Nullelement der Addition.

Natürliche Zahlen ohne 0 (Positive Zahlen) bilden keine abelsche Gruppe bezüglich der Addition. Spätestens, wenn man einen Körper bauen will, geht ohne die Null nichts mehr. Und für die meisten Sätze und Lemmata braucht man Körper.

Daher ist es sinnvoll, die Null als natürliche Zahl anzusehen, was Peano ja auch getan hat. Natürliche Zahlen ohne Null (Positive Zahlen) taugen für ein einfache Basteleien und Induktion, aber IMHO nicht für mehr. --Jwilkes 02:14, 13. Jan 2005 (CET)

Ich habe gerade anlässlich letzter Änderungen in diesen Artikel geschaut und war auch etwas von der Definition von N irritiert, wiewohl auch ich schon mit natürlichen Zahlen zu tun hatte, die die Null umfassen. Ich würde die obige Diskussion gern noch mal aufkochen. Mal rein pragmatisch diskutiert: Es hängt natürlich immer von der eigenen Anwendung ab, was man als bequemer empfindet. Jetzt möchte ich aber daraufhinweisen, dass ja die Wikipedia auch von vielen Schülern frequentiert wird, die nicht gelernt haben, mit Freiheit der Lehre umzugehen, sondern gewissermaßen in N ohne Null dressiert worden sind. Die springen im Dreieck, wenn sie das jetzt hier umgekehrt lesen. Deshalb fände ich es angebracht, dass die allgemeine Darstellung mit N erfolgt, das die Null nicht enthält und der Hinweis für Akademiker gemacht wird, dass es auch ein Leben mit N und Null gibt. Akademiker können mit so was umgehen, es ist unangebracht, Schülern das zuzumuten. --Philipendula 11:36, 1. Dez 2004 (CET)

Ich kann mich an dieses Detail meiner eigenen Schulzeit nicht mehr sicher erinnern :) Aber ich glaube, dass wir sogar die positiven Brüche noch vor der 0 kennengelernt haben.

Ich könnte mir durchaus vorstellen, dass folgende Abschnitte auf "N ohne 0" umgestrickt werden:

• Einleitung
• Die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen
• Peano-Axiome

Ob das einem Schüler hilft, weiß ich nicht, denn der nächste Abschnitt setzt explizit die 0 an den Anfang, und das sollte auch nicht geändert werden:

• Ein Modell der natürlichen Zahlen

Der folgende Abschnitt nimmt Bezug auf beide Varianten (eben weil es sie gibt):

• Bezeichnung der natürlichen Zahlen

Den letzten beiden Abschnitten scheint es egal zu sein, ob die 0 drin ist oder nicht:

• Primzahlen
• Die vielleicht einfachste Programmiersprache der Welt

Wie ich im September schon angesprochen hatte, halte ich es darüberhinaus für eine gute Idee, die Verbreitung der Varianten und deren Ursachen darzustellen. Könnten wir damit auch "in N ohne Null dressierten Schülern" ;) klarmachen, dass und warum es auch anders geht?

Meinst du, wir sollten zusätzlich "auf die Jagd gehen", und die Verwendung von N in anderen Artikeln vereinheitlichen, oder nur jeweils (wo\"s drauf ankommt) dazuschreiben, welche Variante der Autor verwendet? Ich wäre für letzteres. --SirJective 12:31, 1. Dez 2004 (CET)

Tja... dass das Ganze noch einen Rattenschwanz an Artikeln verursacht, war mir nicht klar. Ich bin noch mal in mich gegangen. Früher habe ich die natürlichen Zahlen auch immer incl. Null behandelt, weil ja in den meisten Anwendungen die Null berücksichtigt werden muss und man sie sonst dauernd in einer Extra-Behandlung mitschleppen muss. Irgenwann bin ich dann umgeschwenkt, weil ich immer das Gefühl hatte, gegen "herrschendes Recht" zu verstoßen. Jetzt hab ich mal in den Bronstein geschaut: Da ist es auch mit Null. Vermutlich ist es doch pragmatischer, die Null drin zu lassen. Wie das heute in den Schulen gehandhabt wird, weiß ich nicht, vermute aber, dass sich nix geändert hat. Konvex und Konkav einer Funktion wurde, so weit ich weiß, in der Schule auch andersrum definiert. Von daher wäre auch dein Lösungvorschlag mit den Varianten ganz gut: Es wird in der Einleitung gaaanz groß und dick darauf hingewiesen, dass es zwei Lesarten gibt und dass man im akademischen Bereich aus praktischen Gründen die eine Art bevorzugt. Das müsste auch gehen. Die Schüler sollten halt nur nicht erst eine halbe Stunde versuchen, den Artikel zu verstehen, bis sie kapieren, was da falsch gelaufen ist. --Philipendula 13:26, 1. Dez 2004 (CET)

Ich finde, da hat Marc van Woerkom in der Einleitung des Artikels gute Arbeit geleistet.

Danke, Marc! --SirJective 13:31, 5. Dez 2004 (CET)

Sehe ich auch so. Danke!

Vorschlag: Für die "N ohne Null" sollte man immer <math>\mathbb{N}^+</math> verwenden. Das ist eindeutig, und stimmt auch mit den Büchern überein. Um Verwechslungen zu vermeiden, kann man dann auch <math>\mathbb{N}_0</math> schreiben wenn man die kompletten Natürlichen Zahlen meint.

Die "Fortgeschrittenen" werden ohnehin zu Beginn ihrer Texte kurz benennen, was sie meinen, und ab da nur N schreiben. Für alle anderen sollte man IMHO explizit benennen, was man meint, und damit Mißverständnisse vermeiden. --Jwilkes 02:23, 13. Jan 2005 (CET)

So lange wir keine Instanz finden, die die Frage ein für alle Mal entscheiden könnte, scheint mir das ein guter Vorlschlag. Ich gehöre übrigens zur <math>\mathbb{N}_0</math>-Fraktion. -- RainerBi ✉ 07:18, 13. Jan 2005 (CET)

Redirect Peano-Arithmetik

Ich habe ein Redirect von Peano-Arithmetik erzeugt, da hier wesentliche Grundlagen stehen. Ein eigener Artikel wäre in Zukunft aber angebracht. --Hutschi 13:48, 23. Apr 2004 (CEST)

Nur dass hier immer noch ein Link auf Peano-Arithmetik steht ;-) rubik-wuerfel 30. Aug 2004