Allgemein

Habe hinsichtlich der erfoderlichen Mindestzahl von Teilen für die Kugelzerlegung unterschiedliche Werte in der Literatur gefunden. Manchmal wird 5 und manchmal 6 genannt. Habe hier 6 gewählt, um auf der sicheren Seite zu sein. Wer weiss die richtige Anzahl? Irgend jemand hat mir auch berichtet, dass in diesem Fall eine Teilmenge lediglich der Kugelmittelpunkt sei. Ist aber keine sehr verlässliche Information, da schon so lange her.Wolfgangbeyer 00:57, 30. Jan 2004 (CET)

Bin wohl zu sehr Laie, habe aber eigentlich nicht so genau verstanden worum es geht. Eine Kugel lässt sich in zwei gleichgroße Kugeln aufteilen. Das ist paradox. Kann ich nachvollziehen. Mir ist aber weder der Beweis klar, noch wie man auf die Idee kommt. Vielleicht ist es zu viel verlangt, aber möglicherweise auch ein Ansporn an die Fachkundigen hier noch etwas anschaulicher zu werden. Auch das "scheinbar" habe ich nicht verstanden. Ist es nun paradox oder nicht. Mhh. Ahnungslos, 82.83.0.235 01:09, 30. Jan 2004 (CET)

Ich versteh das im Groben so, dass die Kugel ja aus unendlich vielen Punkten besteht. Diese unendlich Punkte kann ich ja in zwei Hälften teilen. Das sind dann aber zwei mal unendlich viele Punkte. Und die kann ich dann wieder beliebig zusammensetzen. Z.B. zu zwei neuen Kugeln. Scheinbar paradox ist das Ganze, denk ich, weil es einem anschaulich nicht in den Kopf will, aber mathematisch beweisbar ist. Ak

Aber wieso muss ich dann in 5-6 Teile teilen. Laienhaft: Nehme ich halt einfach jeden zweiten Punkt und schon habe ich zwei Kugeln. Wie gesagt, etwas mehr Anschaulichkeit im Text wäre toll. 82.83.0.235 01:27, 30. Jan 2004 (CET)

Würde man jeden zweiten Punkt nehmen, dann hätten die beiden neuen Kugeln an den entsprechenden Stellen Lücken. Im Text steht aber ausdrücklich " .. zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen .. ". Ganz abgesehen davon ist es nicht möglich jeden zweiten Punkt zu nehmen, denn das würde voraussetzen, dass jeder Punkt einen eindeutigen Nachbarn hat. Hat er aber nicht, denn zwischen zwei beliebig eng benachbarten Punkten liegt immer noch ein weiterer, genaugenommen sogar unendlich viele, wenn man dieses Argument wiederholt anwendet. Zur Frage weiter oben: Es liegt im Wesen der meisten Paradoxa, nur scheinbar zu sein, und sich bei genauerer Betrachtung als nicht paradox aufzulösen. Denn die Natur ist nun mal nicht in sich widerprüchlich. So auch hier. Habe aber diese vielleicht etwas irritierende Formulierung beseitigt Wolfgangbeyer 19:09, 31. Jan 2004 (CET)

Ich habe mal in der Uni mit 2 anderen Studenten zusammen den Beweis nachvollzogen (mit 30 Teilen) (um den Beweis einmal vollständig vorzuführen haben wir 6 Stunden gebraucht). Es sollte deutlicher gesagt werden, daß der Satz von Banach-Tarski ohne das Auswahlaxiom nicht auskommt. Banach und Tarski haben eine Zerlegung der Einheitskugel in mehr als 6 Teile gefunden, mit denen der Beweis möglich ist. Später dann wurde eine Zerlegung in 5 Teile gefunden, mit der das möglich ist (hab die Zerlegung auch gesehen, dh. ihre Beschreibung mittels Auswahlaxiom ;), hab mir den Beweis zu den 5 Teilen aber nicht angeschaut, weil der noch schwerer ist..). Im übrigen ist es nicht nur beweisbar, daß diese Zerlegung existiert, es ist auch beweisbar, daß sie nicht direkt angegeben werden kann. Ishka 05:41, 1. Mär 2004 (CET)

So besser? Hab den Hinweis aufs Auswahlaxiom nach vorn geholt und die Nicht-Angebbarkeit der Teile genannt. Wenn du weiter Verbesserungsmöglichkeiten siehst, editiere den Artikel nach deinen Vorstellungen. --SirJective 11:13, 1. Mär 2004 (CET)

Achja, da kommt mir wieder eine Frage, die ich stellen wollte: Im Text steht " .. zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen .. ". Sind die Kugeln tatsächlich lückenlos - enthalten also jeden Punkt, den ich erwarten würde - oder ist die "Lückenmenge" bloss eine Nullmenge? --SirJective 11:16, 1. Mär 2004 (CET)

Habe alles noch mal etwas umgestellt und sprachlich überarbeitet. Ich finde bis zur Formulierung des Satzes selbst sollte auch der interessierte Laie folgen können. Die Erwähnung des Auswahlaxioms ohne Erläuterung hängt ihn aber ab. Habe daher diese Passage wieder hinter den Satz gestellt, aber oben schon mal den Begriff Messbarkeit eingeführt. Ferner hing die Erwähnung von R^d in der Luft, da d ja erst im Satz definiert wird. Ich bin nur Physiker und kenne die Details des Beweises selbst nicht. Benötigt man das Auswahlaxiom tatsächlich für den Beweis der Existenz nicht messbarer Mengen oder nur irgendwo anders im Verlauf der Beweisführung des Satzes von Banach-Tarski? Zu SirJective Frage: Ich bin eigentlich davon ausgegangen, dass da keine Lücken sind. Alles andere würde mich doch ziemlich enttäuschen ;-) Wenn ich mir den Wortlaut des Satzes ansehe, wäre doch bereits eine Lücke von nur einem einzigen Punkt ein Widerspruch zum Satz oder nicht? Aber ich bin wie gesagt kein Mathematiker. Wolfgangbeyer 00:23, 2. Mär 2004 (CET)

Hallo Ishka, wir sind uns alle einig, dass das Auswahlaxiom hier wichtig ist. Dem Umstand, dass Du schreibst Hinweis auf Auswahlaxiom wieder hinzugefügt entnehme ich aber, dass Dir entgangen ist, dass ich es nicht entfernt sondern nur verschoben hatte und zwar mit Begründung hier auf der Diskussionsseite, die sich inhaltlich mit dem deckt, was unter Wikipedia:Wie_schreibe_ich_einen_guten_Artikel im Abschnitt Verständlichkeit zu lesen ist. Ferner fand ich die Formulierung (wenn man nur in ZF arbeitet, ... nicht gerade toll. Für welchen Leser schreiben wir hier? Ganz abgesehen davon, dass man Text in Klammern vermeiden sollte, wie in Wikipedia:Wie_schreibe_ich_einen_guten_Artikel Abschnitt Stil erwähnt. Wolfgangbeyer 20:39, 3. Mär 2004 (CET)

Darf ich vorschlagen, den Artikel in zwei Bereiche zu gliedern - einen "allgemeinverständlichen" und einen präzisen? Letzteren mitsamt der Beweisidee (s. den englischen Artikel). Im ersten Abschnitt kann dann das Auswahlaxiom von mir aus unerwähnt bleiben, es sollte dafür im zweiten umso deutlicher hervorgehoben werden. --SirJective 22:22, 3. Mär 2004 (CET)

Gute Idee. Wäre im Prinzip auch gar nicht dagegen, relativ weit oben zu erwähnen, dass die ganze Angelegenheit auf einem in der Fachwelt umstrittenen Axiom beruht. Mir war dieser Umstand bisher nicht bekannt. Habe es erst eben unter Auswahlaxiom erfahren. Dachte immer, in der Mathematik gäbe\"s (so gut wie) keine Meinungsverschiedenheiten. Würde mich sehr interessieren, wie groß der Anteil der Mathematiker ist, die dieses Axiom ablehnen. Hat da jemand eine Vorstellung von? Wolfgangbeyer 22:52, 3. Mär 2004 (CET)

Habe den 3. Absatz, den 128.97.70.87 (01:19, 21. Apr 2004) eingefügt hatte, durch einen einzigen Satz im 2. Absatz ersetzt. Er enthielt viele Sätze aber kaum Informationen, die über das hinausgehen, was schon im 2. Absatz stand. Blähte den Artikel nur unnötig auf. Und Galileo-Transformation? Gemeint war wohl Galilei-Transformation, aber die enthält eine hier völlig irrelevante Geschwindigkeit und es fehlen ihr die Drehungen, so dass das hier nicht die angemessene Transformation sein kann. --Wolfgangbeyer 17:56, 28. Apr 2004 (CEST)

--- Der Hinweis, das "In diesem Sinne die Quadratur des Kreises" möglich sei, halte ich für sachlich falsch. Zumindest muss deutlicher herauskommen, das das klassische Quadraturproblem mit Zirkel und Pi und Lineal so nicht gelöst werden kann. - ToD

Ich bin davon ausgegangen, dass die Formulierung "in diesem Sinne" die Sache bereits ausreichend relativiert. Aber ich habe zur Sicherheit noch ein paar Worte hinzugefügt. --Wolfgangbeyer 17:44, 1. Mär 2005 (CET)