Mengenlehre

Stichpunkte

Allgemein
	Die Mengenlehre ist ein Teilgebiet der Mathematik
	welches sich mit den Eigenschaften von Mengen beschäftigt
	Stochastik oder Topologie
	Sie ist die Grundlage der modernen Mathematik und bietet ein einheitliches Grundgerüst für zahlreiche Disziplinen wie Algebra
	Analysis
	"Verbergen") 1 Geschichte 2 Neue Mathematik 3 Definitionen 4 Anmerkungen 5 Beispiele 6 Gesetzmäßigkeiten 7 Weblinks [Bearbeiten]
	Darüber hinaus ist sie von zentraler Bedeutung für die Prädikatenlogik. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
Geschichte
	Die Mengenlehre geht zurück auf Georg Cantor
	welche die Elemente der Menge genannt werden
	zu einem Ganzen"
	Nach seiner Definition ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens
	Die von Cantor eingeführte naive Mengenlehre führte jedoch schon bald zu unlösbaren Widersprüchen (Russellsche Antinomie). Die axiomatische Mengenlehre (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) verzichtet deshalb auf eine Definition des Begriffs Menge und benutzt ihn als Grundbegriff
	Eine Menge wird durch die Angabe aller Elemente bzw. ihrer Grundeigenschaften festgelegt
	wenn x als Element in M enthalten ist
	z.B. x <math>in<math> M
	Die einzige Grundrelation ist <math>in<math> (gesprochen Element von)
	manchmal auch das HTML-Zeichen ∈
	In vielen Artikeln dieser Enzyklopädie verwenden wir die Schreibweise "x in M" oder "x aus M"
	welches jedoch von manchen Browsern nicht korrekt dargestellt wird
	Eine alternative Mengentheorie kann man aufbauend auf der Kategorientheorie mit Hilfe von Topoi definieren. [Bearbeiten]
Neue Mathematik
	nach wenigen Jahren aber zugunsten des traditionellen Rechenunterrichts wieder abgeschafft
	In den 1970er Jahren wurde die Mengenlehre in die Grundschulen eingeführt
	Siehe dazu den Artikel "Neue Mathematik"
	Zum besseren Verständnis der Mengenlehre werden sog
	Venn-Diagramme (bzw
	Mengendiagramme) benutzt. [Bearbeiten]
Definitionen
	d.h
	Obermenge): <math>{A} subseteq {B}<math> (A ist Teilmenge von B
	wenn jedes Element von A auch Element von B ist
	<math>B<math> und <math>A_lambda<math> für alle <math>lambdain Lambda<math> beliebige Teilmengen der Menge <math>mathbb{X}<math>. Teilmenge (Inklusion
	<math>Lambda<math> eine beliebige Indexmenge und <math>A<math>
	Seien <math>mathbb{X}<math> eine Menge
	oder auch B ist Obermenge von A)
	A ist enthalten in oder gleich B
	die sowohl in A als auch in B enthalten sind
	In Prädikatenlogik: <math>{A}subseteq {B} :Longleftrightarrowforall x in {mathbb{X}}: left( left( {x} in A right) Rightarrow left( {x in B } right) right) <math>. Echte Teilmenge:<math> {A} subset {B} <math> (A ist echte Teilmenge von B oder B ist echte Obermenge von A)
	wenn die Menge A enthalten in B
	aber ungleich B ist: <math>{A} subset {B} :Longleftrightarrow left({A}subseteq {B}right) wedge left({A}neq {B}right)<math> Schnittmenge: Die binäre Schnittmenge <math> {A}cap{B} := { x in mathbb{X} mid left( x in {A} right) and left( x in {B} right) }<math> (A geschnitten mit B) ist die Menge aller Elemente
	Die Schnittmenge beliebig vieler Mengen <math>bigcap_{lambdainLambda} A_lambda := {x in mathbb{X} mid foralllambdainLambda: xin A_lambda}<math> ist die Menge aller Elemente
	die in sämtlichen Mengen <math>A_lambda<math> enthalten sind
	die in A oder in B oder beiden Mengen liegen
	Die elementweise Schnittmenge <math>bigcap A := {x inmathbb{X} mid forall ain A : xin a}<math>. Vereinigungsmenge: Die binäre Vereinigungsmenge <math> {A}cup {B} := { x inmathbb{X} mid left( x in {A} right) or left( x in {B} right) }<math> (A vereinigt mit B) ist die Menge der Elemente
	Die Vereinigungsmenge beliebig vieler Mengen <math>bigcup_{lambdainLambda} A_lambda := {x in mathbb{X} mid existslambdainLambda: xin A_lambda} <math> ist die Menge aller Elemente
	die in mindestens einer Menge <math>A_lambda<math> enthalten sind
	also die Anzahl der Elemente von <math>A<math>
	die nicht in A liegen. Differenzmenge: <math>{A} setminus {B} = { x in mathbb{X} mid left( xin A right) and left( xnotin B right) } <math> (A ohne B) ist die Menge aller Elemente
	die in A enthalten sind
	aber nicht in B symmetrische Differenz: <math>{A}
	{B} := left( A setminus B right) cup left( B setminus A right) <math> ist die Menge aller Elemente
	Die elementweise Vereinigungsmenge <math>bigcup A := {x inmathbb{X} mid exists ain A : xin a}<math>. Komplement: <math>complement{A}:={ x in mathbb{X} mid x notin A }<math> bezeichnet das Komplement von <math>A<math> in <math>mathbb{X}<math>
	triangle
	die in einer aber nicht in beiden der gegebenen Mengen liegen Mächtigkeit: <math>left| A right|<math> bezeichnet die Mächtigkeit (auch Kardinalität) der Menge <math>A<math>
	das ist die Menge aller Elemente von <math>mathbb{X}<math>
	bright) mid ain A and bin B}<math> ist die Menge aller geordneten Paare
	Für eine endliche Menge ist die Mächtigkeit eine natürliche Zahl; bei unendlichen Mengen unterscheidet man nach verschiedenen Graden der Unendlichkeit. Leere Menge: Die leere Menge enthält kein Element und wird mit <math>emptyset<math> oder auch <math>{}<math> bezeichnet. Potenzmenge: Die Potenzmenge <math>mathcal{P} left( {A} right)<math> ist die Menge aller Teilmengen von <math>{A}<math>. Produktmenge Die binäre Produktmenge <math>Atimes B := {left(a
	die sich aus den Mengen <math>A<math> und <math>B<math> bilden lassen
	die einem Indexelement <math>lambda<math> ein Element der Menge <math>A_lambda<math> zuordnen. [Bearbeiten]
	Die Produktmenge beliebig vieler Mengen <math>prod_{lambdain Lambda} A_lambda := {f:Lambdatomathbb{X} mid forall lambdainLambda : fleft(lambdaright)in A_lambda}<math> ist die Menge aller Abbildungen
Anmerkungen
	Die Symbole für Teilmenge und echte Teilmenge wurden in Anlehnung an die Zeichen <math>
Beispiele
	2}<math> und <math>B = {1
	2
	Wir betrachten die Mengen <math>mathbb{X} = {1
	<math>A = {1
	3}<math>
	3}<math>
	<math>{3}^3 = {(3
	<math>left|emptysetright|<math> = 0
	{2}
	1)
	{emptyset}}<math> <math>Atimesemptyset = emptyset<math> <math>mathbb{N}^+subset mathbb{N} subset mathbb{Z} subset mathbb{Q} subset mathbb{R} subset mathbb{C}<math> [Bearbeiten]
	<math>Bsetminus A = {3}<math>
	3)}<math>
	<math>Bsubsetmathbb{X}<math> <math>Acap B = {1}<math> <math>Acup B = mathbb{X}<math> <math>complement{A} = {3}<math>
	{1
	3)
	A cup B}<math> <math>Atimes B = {(1
	Es gelten: <math>2in A<math>
	Bsetminus A
	Atriangle B
	<math>Bsubseteqmathbb{X}<math>
	<math>Asetminusmathbb{X} = emptyset<math> <math>Atriangle B = {2
	A
	<math>left| Aright|<math> = 2
	3)}<math>
	2}}<math> <math>mathcal{P} left(mathbb{X}right) = {emptyset
	<math>mathbb{X}setminus A = {3}<math>
	1)
	3)
	<math>complement{B} = {2}<math>
	1)
	B
	<math>A^2 = {(1
	complement B
	<math>Atimes{3} = {(1
	<math>complement{mathbb{X}}=emptyset<math>
	<math>mathcal{P} left({emptyset}right) = {emptyset
	2)
	<math>Atrianglemathbb{X} = {3}<math>
	<math>complement{emptyset}=mathbb{X}<math> <math>Asetminus B = {2}<math>
	(1
	<math>Btrianglemathbb{X} = {2}<math> <math>left| mathbb{X}right|<math> = 3
	2)}<math>
	(2
	Acap B
	<math>mathbb{X}subseteqmathbb{X}<math> <math>Asubsetmathbb{X}<math>
	(1
	(2
	(2
	1)
	(2
	{1}
	<math>2notin B<math> <math>Asubseteqmathbb{X}<math>
	3
	3)}<math> <math>emptysetnotinemptyset<math>
	<math>left|{emptyset}right|<math> = 1 <math>mathcal{P} left(Aright) = {emptyset
	<math>emptysetin{emptyset}<math> <math>mathcal{P} left(emptysetright) = {emptyset}<math>
	3}<math>
	(2
Gesetzmäßigkeiten
	<math>left( A cap B right) cap C = A cap left( B cap C right) <math> Distributivgesetz: <math>A cup left( B cap C right) = left( A cup B right) cap left( A cup C right)<math>
	Die Menge <math>mathcal{P}left(mathbb{X}right)<math> ist bezüglich der Relation <math>subseteq<math>partiell geordnet
	denn für alle <math>A
	assoziativ und distributiv: Kommutativgesetz: <math>A cup B = B cup A <math>
	<math>complement{(A cap B)} = complement{A} cup complement{B}<math> Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten: Distributivgesetze: <math>(A cap B) setminus C = (A setminus C) cap (B setminus C) quad (A cup B) setminus C = (A setminus C) cup (B setminus C) quad A setminus (B cap C) = (A setminus B) cup (A setminus C) quad A setminus (B cup C) = (A setminus B) cap (A setminus C)<math> Assoziativgesetz: <math>(A setminus B) setminus C = A setminus (B cup C) quad A setminus (B setminus C) = (A setminus B) cup (A cap C)<math> Für die symmetrische Differenz gelten folgende Gesetzmäßigkeiten: Kommutativgesetz: <math>A triangle B = B triangle A<math> Assoziativgesetz: <math>(A triangle B) triangle C = A triangle (B triangle C)<math> Distributivgesetz: <math>(A triangle B) cap C = (A cap C) triangle (B cap C)<math> <math>A triangle varnothing = A quad A triangle A = varnothing<math> Die Algebra der Mengen ist eine so genannte Boolesche Algebra
	B
	Csubseteqmathbb{X}<math> gilt: Reflexivität: <math>Asubseteq A<math> Antisymmetrie: Aus <math>Asubseteq B<math> und <math>Bsubseteq A<math> folgt <math>A = B<math> Transitivität: Aus <math>Asubseteq B<math> und <math>Bsubseteq C<math> folgt <math>Asubseteq C<math> Die Mengen-Operationen Schnitt <math>cap<math> und Vereinigung <math>cup<math> sind zueinander kommutativ
	<math>A cap B = B cap A <math> Assoziativgesetz: <math>left( A cup B right) cup C = A cup left( B cup C right) <math>
	<math>A cap left( B cup C right) = left( A cap B right) cup left( A cap C right)<math> De Morgansche Gesetze: <math>complement( A cup B) = complement{A} cap complement{B}<math>
	Siehe auch: Universum (Mathematik) [Bearbeiten]
Weblinks
	Mathematical Atlas Artikel (http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/03EXX.html) PlanetMath Artikel (http://planetmath.org/encyclopedia/SetTheory.html) Mathe Online (http://www.mathe-online.at/mathint/mengen/i.html) http://plaz.upb.de/lehrerbildung/plan/plan.php?id=sw0306 Vorlage:Wort en:Set theory eo:Arteorio nl:Verzamelingenleer pl:Teoria mnogoÅ›ci pt:Teoria dos conjuntos sv:mängdteori tr:Kümeler Kuramı uk:Ð?лгебра множин

[X] Schliessen

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Mengenlehre aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.