Eulersche Identität

Stichpunkte

Allgemein
	Die eulersche Identität bezeichnet die Formel <math> e^{i varphi} = cosleft(varphi right) + i sinleft( varphiright) <math> und bildet das Bindeglied zwischen Trigonometrischen Funktionen und den komplexen Zahlen
	i ist die imaginäre Einheit
	veröffentlicht in Lausanne 1748
	(eine komplexe Zahl mit der Eigenschaft i2 = -1) und π ist die Kreiszahl pi (das Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser eines Kreises). Die Gleichung erscheint in Leonhard Eulers Introductio
	Für den Winkel φ = π gewann diese Formel sogar einmal die inoffizielle Auszeichnung schönste Formel der Mathematik: <math>begin{matrix} e^{i pi} + 1 = 0 end{matrix}<math> Dabei ist e die eulersche Zahl (Basis des natürlichen Logarithmus)
	Der fast 15-jährige Richard Feynman nannte diese Beziehung in seinem Notizbuch die "bemerkenswerteste Formel der Welt"
	mathematischen Konstanten in eine Beziehung: Die Zahlen 0 und 1 sind die Grundlage des Zählens und der Arithmetik. Die Zahl π ist eine geometrische Konstante unserer Euklidischen Welt. Die Eulersche Zahl e ist eine zentrale Konstante bei der Beschreibung von Wachstumsvorgängen
	Sie setzt die wichtigsten fundamentalen
	diese Formel besage nichts anderes als: "Wenn man sich umdreht
	schaut man in die andere Richtung." [Bearbeiten]
	Die einfachste Lösung der einfachsten Wachstumsgleichung dy / dx = y (einer Differentialgleichung) ist die Exponentialfunktion y = ex. Und durch die Einführung der imaginären Einheit i haben alle nicht-konstanten Polynome eine komplexe Nullstelle. Spötter sagen
Herleitung
	erhalten wir <math>e^{ix} = cosleft(xright) + i sin(x) <math>. [Bearbeiten]
	...<math> oder allgemein ausgedrückt
	quad i^4=1
	quad i^2=-1
	quad i^{4n+1}=i
	quad i^{4n+3}=-i <math> Als vereinfachte Formel erhalten wir: <math>e^{ix} = sum_{n=0}^infty left( frac{x^{4n}}{ left( 4n right) !} + frac{x^{4n+1}}{ left( 4n+1 right) !} i - frac{x^{4n+2}}{ left( 4n+2 right) !} - frac{x^{4n+3}}{ left( 4n+3 right) !} i right) <math> nun werden die Terme noch einmal geordnet und in zwei Summen aufgeteilt: <math>e^{ix} = sum_{n=0}^infty left( frac{x^{4n}}{ left( 4n right) !} - frac{x^{4n+2}}{ left( 4n+2 right) !} right) + i sum_{n=0}^infty left( frac{x^{4n+1}}{ left( 4n+1 right) !} - frac{x^{4n+3}}{ left( 4n+3 right) !} right) <math> Beim nächsten Schritt verwenden wir folgende Taylorreihen für cos(x) und sin(x): <math>cos(x) = 1 - frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} - frac{x^6}{6!} + ... = sum_{n=0}^infty left( frac{x^{4n}}{ left( 4n right) !} - frac{x^{4n+2}}{ left( 4n+2 right) !} right) <math> <math>sin(x) = x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - frac{x^7}{7!} + ... = sum_{n=0}^infty left( frac{x^{4n+1}}{ left( 4n+1 right) !} - frac{x^{4n+3}}{ left( 4n+3 right) !} right) <math> wenn wir diese jetzt in die vorhergehende Formel für eix einsetzen
	dass folgende Version dabei herauskommt: <math>e^{ix} = sum_{n=0}^infty left( frac{x^{4n}}{ left( 4n right)!} i^{4n} + frac{x^{4n+1}}{ left( 4n+1 right) !} i^{4n+1} + frac{x^{4n+2}}{ left( 4n+2 right) !} i^{4n+2} + frac{x^{4n+3}}{ left( 4n+3 right) !} i^{4n+3} right) <math> um diesen Ausdruck zu vereinfachen verwenden wir folgende Fakten über i: <math>i^0=1
	quad i^{4n+2}=-1
	Hier ist eine Herleitung der eulerschen Identität mit Hilfe der Taylorreihen: Die Funktion <math>e^x mbox{ mit } x inmathbb{R}<math> kann auch so geschrieben werden: <math>e^x = frac{x^0}{0!} + frac{x^1}{1!} + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + ... = sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!} <math> nun fügen wir dem Exponenten i hinzu: <math>e^{ix} = sum_{n=0}^infty frac{left( ix right) ^n}{n!} = sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!} i^n <math> wir können diesen Term jetzt so anordnen
	als Vielfaches von n: <math>i^{4n}=1
	quad i^3=-i
	quad i^1=i
i hoch i
	Die Potenz <math>i^i<math> der imaginären Einheit kann man mit der eulerschen Identität so berechnen: Setzt man <math>pi/2<math> in die Identität ein
	dass <math>ipi/2<math> eine Lösung der Gleichung <math>begin{matrix} e^z=i end{matrix}<math> ist und damit gilt nach Definition der Logarithmusfunktion (die sich vom Reellen ins Komplexe überträgt): <math>mbox{Ln}(i)=i frac{pi}{2}<math> (Ln mit großem L bezeichnet den Hauptwert
	dass es sich hierbei nicht
	erhält man <math>e^{i frac{pi}{2} } = i<math> Dies bedeutet aber gerade
	sondern überhaupt erst eine Definition der komplexen Potenz darstellt)
	mehr dazu unten). Die Definition der Potenz zweier komplexer Zahlen <math>z<math> und <math>omega<math> lautet: <math>begin{matrix} z^{omega}=e^{omega ln(z)} end{matrix}<math> (wobei zu beachten ist
	um eine beweisbare Aussage handelt
	wie im Reellen
	sind auch alle Werte der Form <math>ifrac{pi}{2}+2kpicdot i<math> mit <math>kinmathbb{Z}<math> Lösungen von <math>e^z=i<math>
	dass ihr in Wirklichkeit unendlich viele Werte (die jedoch alle reell sind!) zugeordnet werden
	Möchte man nun die Potenz <math>i^i<math> berechnen
	so erhält man also: <math>begin{matrix} i^i=e^{iln(i)} end{matrix}<math> Dies lässt sich mit dem Ergebnis von oben wie folgt schreiben: <math>i^i=e^{i(ifrac{pi}{2})}=e^{-frac{pi}{2}}approx 0.20788<math> so dass sich erstaunlicherweise ein reeller Zahlenwert ergibt. Beachte: Wegen der <math>2pi i<math>-Periodizität der komplexen Exponentialfunktion
	eine Eigenschaft
	die die komplexe Potenz allgemein hat
	was zeigt
	damit gilt also auch <math>ln(i)=ifrac{pi}{2}+2kpicdot i<math> womit sich für die hier behandelte Potenz der Wert <math>i^i=e^{iln(i)}=e^{i(ifrac{pi}{2}+2kpicdot i)}=e^{-frac{pi}{2}+2k'pi}<math> mit <math>k'inmathbb{Z}<math> ergibt
	Lediglich für den Hauptwert des Logarithmus im Intervall <math>(-pi
	pi]<math> ergibt sich der oben berechnete Wert. [Bearbeiten]
Anschauung
	Die Eulersche Identität lässt sich in der komplexen Zahlenebene so veranschaulichen: ca:Identitat d'Euler en:Euler's identity es:Identidad de Euler fr:Identité d'Euler ja:オイラーã?®ç­‰å¼? nl:Formule van Euler sl:Eulerjeva enaÄ?ba zh:欧拉公å¼?

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