Kosinus

Stichpunkte

Allgemein
	"Verbergen") 1 Formale Betrachtung 1.1 Taylorsche Reihenentwicklung des Kosinus 1.2 Definition mit Hilfe der Exponentialfunktion 2 Weitere Bedeutung [Bearbeiten]
	quad frac{d}{dalpha} cos(alpha) = - sin(alpha)<math> (Der Kosinus ist die Ableitung des Sinus
	die Ableitung des Kosinus ist das Negative des Sinus) <math>left| cos alpha right| le 1<math> Der Kosinus gehört zu den trigonometrischen Funktionen. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	Bild nicht gefunden Ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel in C Bild nicht gefunden Graph der Cosinusfunktion In einem rechtwinkligen Dreieck ABC ist der Kosinus (oder Cosinus) eines Winkels α das Verhältnis von Ankathete b zur Hypotenuse c: <math>cos alpha = frac{b}{c}.<math> Es gilt: <math>cos(alpha) = sin(90^circ - alpha)<math> <math>sin^2 (alpha) + cos^2 (alpha) = 1<math> (Satz des Pythagoras) <math>frac{d}{dalpha} sin(alpha) = cos(alpha)
Formale Betrachtung
	[Bearbeiten]
Taylorsche Reihenentwicklung des Kosinus
	<math> cos (x)= sum_{n=0}^infty (-1)^nfrac{x^{2n}}{(2n)!}=1-frac{x^2}{2}+frac{x^4}{24}-... <math> Die Taylor-Reihe des Kosinus konvergiert überall gegen den Funktionswert des Kosinus (das heißt der Konvergenzradius ist unendlich)
	Für kleine Werte zeigt sich ein sehr gutes Konvergenzverhalten
	Zur nummerischen Berechnung kann man daher die Periodizität und Symmetrie der Funktion ausnutzen und den x-Wert bis auf den Bereich -π/4 bis π/4 reduzieren (siehe Reduktionsformel)
	Danach sind für eine geforderte Genauigkeit nur noch wenige Glieder der Reihe zu berechnen
	Das Taylorpolynom bis zur vierten Potenz z.B. hat im Intervall [-Ï€/4
	05%. [Bearbeiten]
	π/4] einen relativen Fehler von unter 0
Definition mit Hilfe der Exponentialfunktion
	Die trigonometrischen Funktionen können auch mit Hilfe der Exponentialfunktion definiert werden
	Dieser Ansatz führt zum einen Sinus und Kosinus auf nur eine Reihe zurück
	ergibt zum anderen die Eulerformel und erlaubt außerdem die Erweiterung des Kosinus auf komplexe Argumente
	Selbstverständlich kann man auch den Kosinus wie oben definieren und dann die Übereinstimmung mit dieser Definition zeigen
	Für eine komplexe Zahl z gilt <math>cos z
	mbox{Re } (e^{iz}) = { 1 over 2 } left( e^{iz} + e^{-iz} right)<math> Ausgehend von dieser Definition lassen sich sehr leicht die Eigenschaften des Kosinus und die Additionstheoreme des Sinus und Kosinus nachweisen. Siehe auch: Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen
	=
	Kosinussatz [Bearbeiten]
Weitere Bedeutung
	Kosinus ist auch eine Comicfigur einer deutschen Computerzeitschrift
	COS (http://apfelwiki.de/wiki/Main/COS)
	das Krypto-Betriebssystem war einer der größten Fakes in der Mac-Geschichte en:cosine da:cosinus et:Koosinus nl:cosinus pl:cosinus

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