Binomischer Lehrsatz

Stichpunkte

Allgemein
	die Potenzen eines Binoms x+y
	also einen Ausdruck der Form <math> (x+y)^{n}
	quad ninmathbb{N}<math> als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken. [Bearbeiten]
	der es in seiner einfachsten Form ermöglicht
	Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik
Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten
	y) = sum_{k=0}^{n}{n choose k} x^{n-k}y^{k} quad (1)<math> Die Koeffizienten dieses Polynoms sind wie folgt definiert: <math> {n choose k} = frac {n!}{(n-k)!k!} <math> (n! bezeichnet hierbei die Fakultät von n) Sie werden aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz als Binomialkoeffizienten bezeichnet. (Pascalsches Dreieck) Für jedes konkrete n kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten
	Es gilt für alle reellen oder komplexen Zahlen x und y und für alle natürlichen Zahlen n die Gleichung: <math> (x+y)^n = f(x
	Beispiel eines Binomes: <math> (x+y)^3={3 choose 0} x^{3} + {3 choose 1} x^{2}y + {3 choose 2} xy^{2} + {3 choose 3} y^{3}=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3<math> [Bearbeiten]
Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten
	Isaac Newton ist eine Verallgemeinerung des Theorems auf beliebige reelle Exponenten α mittels unendlicher Reihen zu verdanken
	Dieselbe Aussage ist aber auch gültig
	wenn α eine beliebige komplexe Zahl ist
	dass α nicht positiv und ganzzahlig ist
	yinmathbb{C} &lt;math&gt; mit &lt;math&gt; |x/y| < 1 &lt;math&gt;
	Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form: &lt;math&gt; (x+y)^{alpha}=sum_{k=0}^{infty}{alpha choose k}x^{k}y^{alpha - k} quad (2)&lt;math&gt; Diese Reihe ist im Fall
	konvergent für alle &lt;math&gt; x
	Für &lt;math&gt; alphainmathbb{N} &lt;math&gt; geht Gleichung (2) aber in (1) über und ist gültig für alle &lt;math&gt; x
	yinmathbb{C} &lt;math&gt; und alle &lt;math&gt; ninmathbb{N} &lt;math&gt;
	dessen Wert als 1 definiert ist.) Für α = -1 und y = 1 ergibt sich aus (2) als Sonderfall die Geometrische Reihe. [Bearbeiten]
	Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als &lt;math&gt; {alpha choose k} = frac{alpha (alpha - 1)(alpha - 2) cdots (alpha - k + 1)}{k!} &lt;math&gt; (Im Fall k = 0 entsteht ein leeres Produkt
Weiterführende Literatur
	M
	Barner
	F
	Flohr Analysis I. de Gruyter
	ISBN 3-11-016778-6. en:Binomial theorem es:Teorema del binomio fr:Formule du binôme de Newton ja:二項定� ko:�항정리 nl:Binomium van Newton sv:Binomialsatsen
	2000

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Binomischer Lehrsatz aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.