Binomische Formel

Stichpunkte

Allgemein
	Die Binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zur Darstellung und zum Lösen von Quadrat-Binomen
	die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern
	Sie werden als Merkformeln verwendet
	beim Radizieren von Wurzeltermen sowie Logarithmenausdrücken sehr oft die einzige Lösungsstrategie darstellt
	Zum anderen erlauben sie die Term-Umformung von bestimmten Summen und Differenzen in Produkte (die Faktorisierung)
	was bei der Vereinfachung von Bruchtermen
	Die Formeln gelten in allen kommutativen Ringen
	sondern erklärt sich aus der Bedeutung von bi als zwei (vgl
	Randbemerkung: Entgegen häufiger Schülermeinung deutet die Bezeichnung binomisch nicht auf einen Mathematiker hin
	Binom)
	"Verbergen") 1 Formeln 2 Veranschaulichung 3 Bedeutung 4 Weblinks [Bearbeiten]
	Gleichwohl taucht ein gewisser Alessandro Binomi in einigen Publikationen als ihr Urheber auf. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
Formeln
	<math>(a+b)^2 = a^2 + 2 cdot a cdot b + b^2<math> 1
	Binomische Formel (Plus-Formel) <math>(a-b)^2 = a^2 - 2 cdot a cdot b + b^2<math> 2
	Binomische Formel (Minus-Formel) <math>(a+b) cdot (a-b) = a^2 - b^2<math> 3
	häufig in der Mathematik benutzt
	bieten auch eine Hilfe beim Kopfrechnen
	Binomische Formel (Plus-Minus-Formel) Die Begründung der Formeln ist durch Ausmultiplizieren einzusehen: <math>(a+b)^2=(a+b)cdot(a+b)=a cdot a+a cdot b+b cdot a+b cdot b=a^2+2 cdot a cdot b+b^2<math> <math>(a-b)^2=(a-b) cdot (a-b)=a cdot a-a cdot b-b cdot a+b cdot b=a^2-2 cdot a cdot b+b^2<math> <math>(a+b) cdot (a-b)=a cdot a-a cdot b+b cdot a-b cdot b=a^2-b^2<math> Diese Formeln
	Das Quadrat einer Zahl zwischen 10 und 100 lässt sich oft einfach mit der binomischen Formel bestimmen
	Beispielsweise ist <math> 37^2 = 30^2 + 2 cdot 30 cdot 7 + 7^2 = 1369 <math> oder ausführlich <math> 37^2 =37cdot 37= 30 cdot 30 + 30 cdot 7 + 7 cdot 30 + 7 cdot 7 = 30^2 +2 cdot 30 cdot 7 +7^2 = 900 + 420 + 49 = 1369<math> Binomische Formeln lassen sich auch für höhere Potenzen angeben
	diese Verallgemeinerung ist der binomische Lehrsatz
	die mittels des Pascalschen Dreiecks leicht zu bestimmen sind. [Bearbeiten]
	Man benutzt dazu die Binomialkoeffizienten
Veranschaulichung
	Nebenstehendes mehrfarbiges Quadrat hat die Seitenlänge (a+b)
	passen zwei kleinere Quadrate a² und b² hinein
	und es bleiben zwei Rechtecke mit der gleichen Fläche a·b übrig
	Wie sofort ersichtlich ist
	Dadurch ergibt sich <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2cdot acdot b<math> Im zweiten Bild ist a² das blau umrahmte Quadrat
	Soll daraus ein Quadrat der Seitenlänge (a-b) erzeugt werden
	wird zuerst die rot umrahmte Fläche a·b abgezogen
	Eine ebenso große liegende Fläche kann erst abgezogen werden
	wenn zuvor das kleine Quadrat b² addiert wird
	Die hier gezeigte Formel lautet also <math>(a-b)^2=a^2-2cdot acdot b+b^2<math> Im dritten Bild ist a² das hell- und dunkelblaue Quadrat
	so entsteht ein Rechteck der Breite (a-b) und der Höhe (a+b)
	Wird das kleine Quadrat b² davon abgezogen und das verbleibende helle Rechteck gedreht unten angehängt
	Also ergibt sich die Formel <math>a^2-b^2=(a+b)cdot (a-b)<math> [Bearbeiten]
Bedeutung
	Addieren
	Subtrahieren
	Mit Hilfe der binomischen Formel lassen sich Multiplikation und Division auf die einfacheren Rechenarten Quadrieren
	Halbieren und Verdoppeln zurückführen: Die erste und zweite Binomische Formel liefern für das Produkt zweier Zahlen a und b: <math>a cdot b = ((a+b)^2 - a^2 - b^2) / 2 = (b^2 + a^2 -(a-b)^2) / 2<math> Wer an Stelle des Einmaleins die ersten hundert Quadratzahlen kennt
	kann so das allgemeine Produkt zweier Zahlen leicht berechnen
	In Ermangelung eines Ziffernsystems mit Null haben nachweislich die Babylonier so gerechnet und in der ganzen Antike und im Mittelalter wird man so gerechnet haben
	Die angebliche Umständlichkeit der antiken Zahlsysteme wird damit relativiert
	da man mit diesen Zahlsystemen sehr gut addieren und subtrahieren konnte
	die Division auf die Multiplikation und eine einfachere Division zurückzuführen
	Die dritte binomische Formel ist nicht nur ein Kopfrechenkniff
	sondern liefert auch ein Verfahren
	Durch Erweiterung eines Nenners a+b mit dem so genannten konjugierten a-b wird die Division durch algebraische Zahlen auf die Division von rationalen Zahlen zurückgeführt und die Division von komplexen (und hyperkomplexen) Zahlen auf die Division durch reelle Zahlen. [Bearbeiten]
Weblinks
	Binomische Formeln zum Online-Ausprobieren (http://www.niester.de/n_mathematik/listings/binomische/) Binomische Formeln - Multiple Choice Test (http://www.mathe-online.at/tests/var/binomischeFormeln.html) en:Binomial theorem uk:Формули Ñ?короченого множеннÑ?

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