Bijektivität

Stichpunkte

Allgemein
	Bijektivität (bijektiv oder umkehrbar eindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion
	und für die zusätzlich jedes Element des Wertebereichs als Bild auftritt (sie ist surjektiv)
	Eine bijektive Funktion ist eine Funktion
	die verschiedene Elemente ihres Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente des Wertebereichs abbildet (sie ist injektiv)
	Eine bijektive Funktion hat daher immer eine vollständig definierte Umkehrfunktion
	Bildmenge und der Wertemenge einer bijektiven Funktion sind stets gleich groß (mit Hilfe von Bijektionen wird der Begriff der Gleichmächtigkeit definiert)
	"Verbergen") 1 Definition 2 Darstellungsformen 3 Beispiele und Gegenbeispiele 4 Vergleich [Bearbeiten]
	diese Eigenschaft reicht aber nicht zur Definition einer bijektiven Funktion aus. Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	Die "Anzahl der Elemente" der Definitionsmenge
Definition
	wenn für alle <math>y in Y<math> genau ein <math>x in X<math> mit <math>f(x) = y<math> existiert. (genau eins bedeutet eins und nur eins) alternativ: <math>f<math> ist bijektiv
	wenn sie injektiv und surjektiv ist. [Bearbeiten]
	Sei <math>f<math> eine Funktion von <math>X<math> nach <math>Y<math>. <math>f : X to Y<math> <math>f<math> ist bijektiv
Darstellungsformen
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Beispiele und Gegenbeispiele
	die jedem (monogam) verheirateten Menschen seinen Ehepartner bzw. seine Ehepartnerin zuordnet
	dann ist eine injektive Abbildung von A nach B bereits bijektiv
	ist "bijektiv" von der Menge aller verheirateten Menschen auf sich selbst. Sind A und B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen
	ebenso ist eine surjektive Abbildung schon bijektiv.Für unendliche Mengen muss das nicht gelten
	Unmathematisches Beispiel: die "Funktion"
	Unendliche Mengen können z.B. injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden
	siehe dazu auch Dedekind-Unendlichkeit. Ein konkretes Beispiel (die Abbildung <math>f(x)=x^2<math> mit verschiedenen Definitions- und Wertebereichen) gibt der Artikel Injektivität. [Bearbeiten]
	die nicht injektiv sind.Solche Ãœberraschungen werden im Artikel Hilberts Hotel detaillierter beschrieben
	ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge in sich selbst
Vergleich
	Surjektivität bg:БиекциÑ? en:Bijection es:Función biyectiva fr:Bijection ja:å…¨å?˜å°„ nl:Bijectie pl:Bijekcja ru:БиекциÑ? sv:Bijektiv uk:БієкціÑ?
	Injektivität

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