Bernsteinpolynom

Stichpunkte

Allgemein
	Die Bernsteinpolynome wurden 1911 von Sergei Natanovich Bernstein entwickelt
	Er benutzte sie
	um für den Approximationssatz von Weierstraß einen konstruktiven Beweis anzugeben
	4: Bernsteinpolynome sind die Grundlage von Bézierkurven
	die bei der computergestützten Beschreibung von Kurven
	Sie sind definiert als <math>B_{i
	Flächen und Schriften eine wichtige Rolle spielen. [Bearbeiten]
	n}(t) = {n choose i} t^i (1-t)^{n-i}<math> mit der Dimension <math>n<math>
	dem Index 0 ≤ i ≤ n und dem Binomialkoeffizient <math>{n choose i} = frac{n!}{i! (n-i)!}<math> Die folgende Abbildung zeigt die Polynome B0
	4 bis B4
Eigenschaften
	n}(0) = B_{n
	1] haben die Polynome eine Reihe von nützlichen Eigenschaften. Nicht-Negativität: <math>B_{i
	n}(t)<math> besitzt im Intervall [0
	Auf dem Intervall [0
	n}(t) ge 0<math> für alle <math>i<math>
	1] genau ein Maximum
	<math>n<math> und <math>0 le t le 1<math> Teilung der Einheit: <math>sum_{i=0}^n B_{i
	n}(1) = 1<math> Maximum: <math>B_{i
	n}(t) = 1<math> für alle <math>0 le t le 1<math> <math>B_{0
	n}(t) = n left( B_{i-1
	mit der Definition <math>B_{i
	Es befindet sich an der Stelle <math>t = i/n<math> Symmetrie: Der Satz von Polynomen <math>lbrace B_{i
	n}(t) rbrace<math> ist für jedes <math>n<math> symmetrisch bezüglich <math>t = 1/2<math> Rekursive Definition: <math>B_{i
	mit der Definition <math>B_{-1
	n-1}(t)<math>
	n-1}(t) equiv 0<math> [Bearbeiten]
	n-1}(t) right )<math>
	n-1}(t) equiv B_{n
	n}(t) equiv 0&lt;math&gt; für &lt;math&gt;i < 0&lt;math&gt; oder &lt;math&gt;i > n&lt;math&gt; Ableitungen: &lt;math&gt;B'_{i
	n}(t) = (1-t) cdot B_{i
	n-1}(t) + t cdot B_{i-1
	n-1}(t) - B_{i
Literatur
	Commun
	S.N.
	Démonstration du Théorème de Weierstrass fondée sûr le calcul dés Probabilités (http://www.math.technion.ac.il/hat/fpapers/P03.PDF)
	Bernstein
	Soc
	Math
	Khrakow
	Vol
	No
	12
	pp
	2
	1912. en: Bernstein polynomial fr: Polynôme de Bernstein
	1-2

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