Axiom

Stichpunkte

Allgemein
	die grundlegend ist und deshalb nicht innerhalb ihres Systems begründet werden kann bzw. muss
	Axiom (v. griech.: tà to~n progónon axiómata = als wahr angenommener Grundsatz) nennt man eine Aussage
	Sie dient als Grundlage für eine deduktive Theorie (vgl. auch Prinzip) und kann deshalb nicht selber durch diese Theorie begründet werden
	so muss es notwendigerweise solche Axiome geben
	den ich zur Begründung anführte
	bedürfte wieder einer Begründung usw
	denn sonst würde die Argumentation nie enden: Jeder Satz
	Wenn eine Theorie aus begründeten Sätzen bestehen soll
	wenn sie in keinem Widerspruch zueinander stehen
	Daher ist ein Axiom etwas ganz anderes als eine Vermutung. Ausnahme: der Logizismus
	aber für uns - die Frage nach der Begründung der Logik). Mehrere Axiome können zu einem Axiomensystem gehören
	der zumindest die elementare Arithmetik rein logisch zu begründen suchte. (Aber dann stellt sich - nicht für ihn
	vertreten von Gottlob Frege
	So definieren z.B. die Körperaxiome in Verbindung mit den Anordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom die reellen Zahlen: Alle wahren Aussagen über reelle Zahlen lassen sich aus diesen Axiomen ableiten
	Wenn eine deduktive Theorie irgendeinen Anspruch auf Gültigkeit haben soll
	so müssen ihre Axiome wohlbegründet sein (nur eben nicht mit den Mitteln dieser Theorie)
	Sie müssen "selbstverständlich" und "offenbar" sein
	in einer "Metasprache" begründet werden
	Mit Gödel u.a.: Axiomata in einer logischen Sprache können nur außerhalb ihrer selbst
	und so fort
	Die Axiome dieser Sprache also nur in einer "Meta-meta-Sprache"
	Die allerletzte Sprache (das 'allererste Kettenglied') ist auch für Logiker dann die sog
	Umgangssprache. [Bearbeiten]
Beispiele:
	es aus den anderen abzuleiten
	Parallelenaxiom: "Zu jeder/m Geraden / Punkt
	der nicht auf dieser Geraden liegt
	gibt es genau eine Parallele durch diesen Punkt." Dieses Axiom der euklidischen Geometrie war immer als weniger klar und einleuchtend erschienen als die anderen und es gab viele Versuche
	Schließlich wurden um die Wende zum 19
	das so klar und einfach
	die dieses Prädikat erfüllen." Dies ist das ursprüngliche Komprehensionsaxiom der Mengenlehre Georg Cantors
	Jahrhundert nichteuklidische Geometrien konzipiert
	als sich herausstellte
	dass es logisch unabhängig ist. "Zu jedem Prädikat P gibt es die Menge aller Dinge
	dass es einen großen Schock bedeutete
	die bewiesen
	so selbstverständlich ist
	dass es nicht widerspruchsfrei zu den anderen Axiomen hinzugefügt werden konnte. "Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n + 1" ist ein offenbar nicht umstrittenes Axiom(enschema) der Arithmetik
	d.h. es darf keine Rolle spielen
	weil es die Zählbewegung simuliert (man kann es mit Streichhölzern schreiben)
	deren protomathematische Evidenz klar ist. "Der Raum ist homogen"
	solange nur alle anderen Rahmenbedingungen gleich sind
	Es ist plausibel
	an welcher willkürlich gewählten Stelle im Raum ein Vorgang stattfindet
	an dem die sonst üblichen Gesetzmäßigkeiten nicht mehr gültig sind)
	deren Eigenschaften und Herkunft nur noch im Rahmen einer Religion erklärbar sind (tatsächlich definieren fast alle Religionen so etwas wie ein Jenseits
	Sollte dieses Axiom nicht erfüllt sein
	also einen Ort im Raum
	gäbe es auf irgendeine Weise ausgezeichnete Stellen im Raum
	In der klassischen Physik folgt direkt aus diesem Axiom die Erhaltung des Impulses. "Wahr ist Falsch"
	ein Axiom muss keine Konsequenz einer übergeordneten Schlussfolgerungskette sein
	die ein solches Axiom enthält
	Aus einer Theorie
	lassen sich aber beliebige Schlussfolgerungen ziehen. Ein Axiom einer Religion oder Weltanschauung wird Dogma oder Paradigma genannt. da:Aksiom en:Axiom eo:Aksiomo es:Axioma et:Aksioom fr:Axiome hr:Aksiom hu:Axióma id:Aksioma ja:å…¬ç?† ko:공리 lt:Aksioma nl:Axioma pl:Aksjomat pt:Axioma ru:Ð?кÑ?иома sl:Aksiom sv:Axiom uk:Ð?кÑ?іома

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