Archimedisches Prinzip

Stichpunkte

Allgemein
	Sinken
	Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
	Schweben 3 Die Entdeckung des Archimedischen Prinzips 4 Physikalische Herleitung 5 Weblinks [Bearbeiten]
	"Verbergen") 1 Definition 2 Erklärung des Phänomens 2.1 Herleitung "klassisch" 2.2 Herleitung nach Archimedes 2.3 Steigen
Definition
	Das Archimedische Prinzip wurde vor über 2000 Jahren vom altgriechischen Gelehrten Archimedes entdeckt
	Es lautet: Die Auftriebskraft eines Körpers ist genau so groß wie die Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Mediums
	Ein Gegenstand wirkt also leichter
	wenn er z
	B. in Wasser getaucht wird
	d. h. in Flüssigkeiten und Gasen
	Die Masse des Körpers bleibt dieselbe
	wodurch die Gewichtskraft scheinbar abnimmt. Bild nicht gefunden Schematisierter Auftrieb Das Archimedische Prinzip gilt in allen Fluiden
	jedoch gleichen sich die Auftriebs- und die Gewichtskraft gegenseitig aus
	Schiffe verdrängen Wasser und erhalten dadurch Auftrieb
	Da die Dichte eines Schiffes geringer ist als die Dichte von Wasser
	schwimmt es auf der Oberfläche
	um fahren bzw. fliegen zu können
	Ballone und Luftschiffe machen sich diese Eigenschaft zu Nutze
	dessen Dichte geringer ist
	als die der umgebenden Luft
	Hierbei werden sie mit einem Gas gefüllt
	Diese Gase sind bei Luftschiffen und vielen Ballonen von Natur aus weniger dicht als Luft (z
	BW
	asserstoff oder Helium); in Heißluftballons wird die Luftfüllung mit Hilfe von Gasbrennern erwärmt
	wodurch ihre Dichte abnimmt. [Bearbeiten]
Erklärung des Phänomens
	Ursache für die Auftriebskraft ist der Druckunterschied zwischen der Ober- und der Unterseite eines eingetauchten Körpers
	Die Kräfte
	die auf die Seitenflächen einwirken
	da sie sich gegenseitig stets aufheben
	spielen keine Rolle
	es wirkt auf die unteren Teile der Oberfläche eines eingetauchten Körpers eine größere Kraft als auf die oberen Teile der Oberfläche
	Das heißt
	Es herrscht folglich ein Druckunterschied
	dass ein Würfel (folglich mit den Kantenlängen 20x20x20cm) 10cm tief in Wasser eingetaucht ist. [Bearbeiten]
	Da jedes physikalische System stets bestrebt ist
	einen Druckausgleich zu erzielen
	wird sich der Körper solange aufwärts bewegen
	bis sich alle auf ihn einwirkenden Kräfte ausgleichen. Im rechtsoben stehenden Beispiel gehen wir davon aus
Herleitung "klassisch"
	}04m^2= underline{39{
	}72N}<math>; auf die obere Fläche <math>A_{oben}<math> wirkt dagegen die Kraft <math>F_{oben}=981Pa cdot 0{
	Auf die untere Fläche <math>A_{unten}<math> wirkt die Kraft <math>F_{unten}=2943Pa cdot 0{
	}24N}<math>
	}04m^2= underline{117{
	48N
	Die Differenz der beiden Kräfte beträgt 78
	48 Newton. [Bearbeiten]
	Also ist der Auftrieb dieses Körpers 78
Herleitung nach Archimedes
	Nach Archimedes gilt Folgendes: <math>F_{Auftrieb}=F_{Gewicht_{Fluid}}<math>
	Bezogen auf das Beispiel können wir schreiben: <math>begin{matrix} F_{Auftrieb} &=& V_{verdraengt}cdotrho_{Fluid}cdot g \ &=& 8000cm^3cdot 1frac{g}{cm^3}cdot9{
	dass beide Methoden auf das gleiche Ergebnis führen. [Bearbeiten]
	}81cdot10^{-3}frac{N}{g} \ &=& mathbf{78{
	}48N}end{matrix}<math> Wir sehen
Steigen, Sinken, Schweben
	muss seine Gewichtskraft gleich der Gewichtskraft des verdrängten Wassers (78
	48N) sein
	Damit der Körper die in der Grafik beschriebene Position einnimmt
	Dann heben sich alle auf den Körper wirkenden Kräfte auf und dieser kommt zum Stillstand
	Nach der Formel <math>m=F_{Gewicht}cdot g^{-1}<math> muss der Körper 8000g schwer sein
	bis der Gewichtskraft eine betragsmäßig gleich große Kraft entgegenwirkt
	dann sinkt der Körper. Die Körper steigen oder sinken
	dann schwebt der Körper. Wenn <math>rho_{Koerper}rho_{Fluid}<math> ist
	Des Weiteren hätte er nach <math> rho = frac{m}{V}<math> eine Dichte von 1. (Wasser hat ebenfalls eine Dichte von 1) Wir können also folgende Regel formulieren: Wenn <math>rho_{Koerper}=rho_{Fluid}<math> ist
	Dies kann beim Sinken eine sich ändernde Dichte des Fluids oder auch der Boden des Bechers bewirken
	Ein Körper steigt oft solange
	bis er die Oberfläche durchbricht
	In diesem Fall gilt: <math>V_{eingetaucht} cdot rho_{Fluid} = V_{Koerper} cdot rho_{Koerper}<math>. [Bearbeiten]
Die Entdeckung des Archimedischen Prinzips
	Archimedes war von König Hieron II. von Syrakus beauftragt worden herauszufinden
	ob dessen Krone wie bestellt aus reinem Gold wäre
	oder ob das Material durch billigeres Metall gestreckt worden sei
	als er zum Baden in eine bis zum Rand gefüllte Wanne stieg und dabei das Wasser überlief
	da die Krone natürlich nicht zerstört werden durfte. Der Überlieferung nach hatte Archimedes schließlich den rettenden Einfall
	Diese Aufgabe stellte Archimedes zunächst vor Probleme
	die übergelaufen war
	dass die Menge Wasser
	genau seinem Körpervolumen entsprach
	Er erkannte
	durch die Straßen und rief Heureka (Ich habe es gefunden)
	nackt wie er war
	Angeblich lief er dann
	der genauso viel wog wie die Krone
	in einen vollen Wasserbehälter und maß die Menge des überlaufenden Wassers
	Um die gestellte Aufgabe zu lösen
	tauchte er einmal die Krone und dann einen Goldbarren
	also nicht aus reinem Gold
	gefertigt worden sein
	musste sie aus einem leichteren Material
	Da die Krone mehr Wasser verdrängte als der Goldbarren und somit bei gleichem Gewicht voluminöser war
	Diese Geschichte wurde vom römischen Architekten Vitruv überliefert. [Bearbeiten]
Physikalische Herleitung
	Wirkt auf eine Fläche <math>vec{A}<math> (mit Flächeninhalt <math>|vec{A}|<math> und Normalenvektor <math>vec{A}/|vec{A}|<math>) von einer Seite ein konstanter Druck <math>p_A<math>
	bei negativem Vorzeichen) wirkende Kraftanteil <math> F_A = - (vec{e}_z cdot vec{A}) p_A <math> wobei <math>vec{e}_z<math> ein nach unten zeigender Einheitsvektor ist
	so ist der nach unten (bzw. nach oben
	Das Archimedische Prinzip gilt nur genau dann streng
	wenn das verdrängte Medium inkompressibel (nicht zusammendrückbar) ist
	Für Flüssigkeiten wie z
	BW
	der in eine Flüssigkeit der Dichte <math>rho<math> eintauchtI
	asser ist dies gut erfüllt
	daher soll im Folgenden von einem Körper ausgegangen werden
	n der Flüssigkeit lastet auf einer waagerechten Fläche der Größe <math>A<math> in der Tiefe <math>z<math> das Gewicht einer Flüssigkeitssäule der Masse <math>m=rho cdot A cdot z<math>D
	er Druck in dieser Tiefe ist deshalb <math> p(z) = frac{m cdot g}{A} = rho cdot g cdot z <math> Ein entsprechender Druckverlauf gilt bei nicht zu großen Höhendifferenzen z auch in der Luft oder anderen Gasen (d. h. die Kompressibilität fällt nicht ins Gewicht; bei großen Höhenunterschieden müsste eine veränderliche Dichte berücksichtigt werden)D
	eshalb gelten die folgenden Überlegungen auch für realistisch große Luftschiffe oder BalloneF
	ür einfache geometrische Formen kann man die Gültigkeit des Archimedischen Prinzips mit einfachen Mitteln von Hand nachrechnenF
	ür einen Quader mit Grundfläche A und Höhe h
	der senkrecht in die Flüssigkeit eintaucht
	erhält man beispielsweise: Kraft auf die obere Grundfläche: <math>F_o = p(z_0) cdot A = rho cdot g cdot z_0 cdot A<math> Kraft auf die untere Grundfläche: <math>F_u = p(z_0+h) cdot A = -rho cdot g cdot (z_0+h) cdot A<math> Kräfte auf die Seitenflächen heben sich stets gegenseitig auf Die gesamte Auftriebskraft ist also <math>F = F_o + F_u = -rho cdot A cdot h cdot g = -rho cdot V cdot g<math>D
	abei ist V das verdrängte Volumen
	also <math>rho cdot V<math> die verdrängte Masse und <math>rho cdot V cdot g<math> ihre GewichtskraftD
	as Archimedische Prinzip ist also erfülltD
	dass die Auftriebskraft der Gewichtskraft entgegengesetzt istF
	as negative Vorzeichen zeigt an
	ür einen beliebig geformten Körper erhält man die gesamte Auftriebskraft durch das Oberflächenintegral <math> F = - iint_{partial V}!!!!!!!!!!!!!!!!;subset!supset ;;p(z) ; vec{e}_z cdot dvec{A} <math> Das Archimedische Prinzip folgt dann sofort aus dem Gaußschen Integralsatz: <math> F = - iiint_V operatorname{div} ; p(z) vec{e}_z ;dV= -g cdot rho cdot iiint_V dV = -g cdot rho cdot V <math> [Bearbeiten]
Weblinks
	der in eine Flüssigkeit taucht (http://www.walter-fendt.de/ph14d/auftrieb.htm) Nachbau des historischen Experimentes mit einfachen Mitteln (http://www.mister-mueller.de/physik/Ph_unterricht/Ph_Experimente/Mechanik/Experiment_des_Archimedes.html) cs:Archimédův zákon de:Archimedisches Prinzip en:Buoyancy fr:Poussée d'Archimède hr:Arhimedov zakon it:Principio di Archimede ja:アルキメデスã?®åŽŸç?† nl:Wet van Archimedes pl:Prawo Archimedesa sl:Arhimedov zakon sv:Arkimedes princip uk:Закон Ð?рхімеда
	Interaktives Experiment zur Größe der Auftriebskraft auf einen Körper

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