Alternierende Gruppe

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Stichpunkte

Allgemein
	FÃ¼r alle natÃ¼rlichen Zahlen n > 2 ist die alternierende Gruppe Altn (oder An) eine nicht-triviale Untergruppe der symmetrischen Gruppe Symn
	Die TrÃ¤germenge von Altn besteht aus den geraden Permutationen von Symn
	Altn besitzt die Ordnung n!/2 (= halbe FakultÃ¤t von n)
	FÃ¼r n > 4 gehÃ¶rt Altn zu den einfachen Gruppen
	"Verbergen") 1 Inversionen und Inversionszahl
	gerade und ungerade Permutationen 2 Gruppeneigenschaften 3 Abgeschlossenheit 3.1 Transpositionen 3.2 Transpositionen und Inversionszahl 3.3 Transpositionen und Abgeschlossenheit [Bearbeiten]
	Alt5 ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe; sie ist isomorph zur Punktgruppe des Ikosaeders (Ikosaedergruppe). Inhaltsverzeichnis showTocToggle("Anzeigen"
Inversionen und Inversionszahl, gerade und ungerade Permutationen
	Von einer Inversion spricht man
	wenn zwei "Stellen" einer Permutation in "falscher" Reihenfolge stehen
	Zur Ermittlung der Inversionszahl einer Permutation werden alle ihrer Stellen paarweise miteinander verglichen und die Anzahl der Inversionen wird gezÃ¤hlt
	Beispiel: Die Permutation ( 1 4 3 2 5 ) besitzt die Inversionen "4vor3"
	"4vor2" und "3vor2" und damit die Inversionszahl 3. Bild nicht gefunden gerade und ungerade Permutationen Von einer geraden Permutation spricht man
	von einer ungeraden Permutation spricht man
	wenn deren Inversionszahl eine ungerade Zahl ist
	wenn deren Inversionszahl eine gerade Zahl ist
	dass also sgn(ps) = sgn(p)sgn(s) fÃ¼r Permutationen p
	dass sgn ein Gruppenhomomorphismus ist
	s gilt. [Bearbeiten]
	Oft definiert man auch die sogenannte "Signum"-Abbildung sgn: Symn -> {+1
	falls p ungerade ist. Man rechnet leicht nach
	falls Permutation p gerade ist und sgn(p) = -1
	-1} wie folgt: sgn(p) = +1
Gruppeneigenschaften
	Als Kern von sgn ist Altn automatisch ein Normalteiler von Symn
	d.h. wenn p1 und p2 gerade Permutationen sind
	sind auch p1 â—Š p2 und p1-1 gerade
	eine Beweisskizze folgt weiter unten. Mit diesen Voraussetzungen "erbt" Altn direkt von Symn alle notwendigen Gruppeneigenschaften: FÃ¼r alle geraden Permutationen p1
	Man kann aber die Untergruppeneigenschaften auch leicht direkt nachrechnen: FÃ¼r die Menge der geraden Permutationen gilt: Die identische Permutation id = ( 1 2 ... n ) ist Element dieser Menge. Die Menge ist bezÃ¼glich Verkettung abgeschlossen
	p2 und p3 gilt: p1 â—Š ( p2 â—Š p3 ) = ( p1 â—Š p2 ) â—Š p3 FÃ¼r alle geraden Permutationen p1 gilt: p1 â—Š id = id â—Š p1 = p1 FÃ¼r alle geraden Permutationen p1 gilt: es gibt ein gerades p1-1 mit p1 â—Š p1-1 = p1-1 â—Š p1 = id [Bearbeiten]
Abgeschlossenheit
	[Bearbeiten]
Transpositionen
	bei der genau 2 verschiedene Stellen vertauscht werden
	Als Transposition bezeichnet man eine Permutation
	z.B. ( 1 2 5 4 3 ) bei der 3 und 5 vertauscht werden
	Allgemein gilt fÃ¼r alle n-stelligen Permutationen p1 und p2: p2 lÃ¤sst sich mit endlich vielen Transpositionen aus p1 erzeugen
	Als Spezialfall hiervon gilt fÃ¼r eine beliebige Permutationen p2: p2 lÃ¤sst sich mit endlich vielen Transpositionen aus der identischen Permutation id erzeugen. Bild nicht gefunden Im Bild ist dargestellt
	wie die Permutation ( 2 5 3 1 4 ) aus ( 1 2 3 4 5 ) mit 5 Transpositionen erzeugt wird
	da sie sich offensichtlich aufheben
	Bei der Wahl der notwendigen Transpositionen existiert eine gewisse Freiheit
	so kÃ¶nnte man im Bild links beispielsweise die Transpositionen b und c wegfallen lassen
	11
	Ebenso kÃ¶nnte man durch den Einbau weiterer sinnloser Transpositionen die Anzahl der Transpositionen auf 7
	... erhÃ¶hen
	9
	Allerdings ist es nicht mÃ¶glich
	( 2 5 3 1 4 ) mit einer geraden Anzahl von Transpositionen aus ( 1 2 3 4 5 ) zu erzeugen. [Bearbeiten]
Transpositionen und Inversionszahl
	Durch eine einzelne Transposition Ã¤ndert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine ungerade Zahl
	d.h. aus einer geraden Permutation wird eine ungerade und umgekehrt
	die aus ( ...x...yi...z... ) die neue Permutation ( ...z...yi...x... ) erzeugt
	yi und z ergibt. falls yi grÃ¶ÃŸtes oder kleinstes Element von x
	yi
	betrÃ¤gt die Ã„nderung 0. falls yi mittleres Element von x
	diese ist +1
	falls x < z
	d.h. aus einer geraden Permutation wird eine ungerade und umgekehrt. Durch eine gerade Anzahl von Transpositionen Ã¤ndert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine gerade Zahl
	yi
	z ist
	die sich aus der neuen Reihenfolge von x
	ansonsten -1. Ã„nderung
	d.h. aus einer geraden Permutation wird erneut eine gerade Permutation und aus einer ungeraden Permutation wird erneut eine ungerade Permutation. [Bearbeiten]
	die sich aus der neuen Reihenfolge von x und z ergibt
	betrÃ¤gt die Ã„nderung +2 oder -2. Die Summe aus einer ungeraden und beliebig vielen geraden Zahlen ergibt immer eine ungerade Zahl. Bild nicht gefunden 200px Die weiter oben getroffene Aussage lÃ¤sst sich verallgemeinern: Durch eine ungerade Anzahl von Transpositionen Ã¤ndert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine ungerade Zahl
	z ist
	setzt sich die Ã„nderung der Inversionszahl zusammen aus der Summe folgender Ã„nderungen: Ã„nderung
	Bei einer Transposition
Transpositionen und Abgeschlossenheit
	dann gibt es gerade Zahlen pn und pq
	somit ist auch die Verkettung p â—Š q gerade
	gilt: alle geraden Permutationen lassen sich nur durch eine gerade Anzahl von Transpositionen aus id erzeugen. alle ungeraden Permutationen lassen sich nur durch eine ungerade Anzahl von Transpositionen aus id erzeugen. Wenn p und q gerade Permutationen sind
	so daÃŸ sich p und q als Verkettung von Transpositionen wie folgt darstellen lassen: p = tp1 â—Š ... â—Š tpn q = tq1 â—Š ... â—Š tqn Damit gilt p â—Š q = tp1 â—Š ... â—Š tpn â—Š tq1 â—Š ... â—Š tqn
	Da id eine gerade Permutation ist
	Analog kann man herleiten: Die Verkettung einer geraden und einer ungeraden Permutation erzeugt immer eine ungerade Permutation
	Damit fÃ¼hrt die Annahme
	eine Permutation p sei gerade und p-1 sei ungerade wegen p â—Š p-1 = id zum Widerspruch
	Symmetrische Gruppe
	Siehe auch:   Gruppentheorie

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Alternierende Gruppe aus der freien Enzyklopädie wikipedia und steht unter der GNU Lizenz für freie Dokumentation. In der wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.

Laktobazillen Avril Lavigne SÃ¼leyman I. Johann Ferdinand Hetzendorf von Hohenberg Lage von Annaberg-Buchholz in Deutschland.png Robert Sheckley Carl Brandan Mollweide Lage von Ifta in Deutschland.png Osmanisches Interregnum

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Allgemein

Inversionen und Inversionszahl, gerade und ungerade Permutationen

Gruppeneigenschaften

Abgeschlossenheit

Transpositionen

Transpositionen und Inversionszahl

Transpositionen und Abgeschlossenheit